Quadratische Ergänzung
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die quadratische Ergänzung ist.
Einordnung
Die quadratische Ergänzung ist ein Verfahren zum Umformen von Termen, in denen eine Variable quadratisch (z. B. $x^2$) vorkommt.
Beispiele für Terme mit quadratischer Variable
Im Rahmen der quadratischen Ergänzung wird der Term so umgeformt, dass die 1. Binomische Formel oder 2. Binomische Formel angewendet werden kann.
| 1. Binomische Formel | $$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$$ |
| 2. Binomische Formel | $$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 $$ |
Am Ende entsteht mithilfe der binomischen Formel ein sog. quadriertes Binom
– also z. B. $(a+b)^2$ oder $(a-b)^2$.
Zusammenfassend können wir die quadratische Ergänzung folgendermaßen definieren:
Die quadratische Ergänzung ist ein Verfahren zum Umformen von Termen, in denen eine Variable quadratisch vorkommt. Dabei wird der Term so umgeformt, dass die erste oder zweite binomische Formel angewendet werden kann. Ziel ist es, dass am Ende ein quadriertes Binom entsteht.
Jetzt bleibt natürlich die Frage, warum man sich die Mühe macht und einen Term so umformt, dass ein quadriertes Binom entsteht. Die Antwort ist einfach: Mithilfe der quadratischen Ergänzung kann man eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform bringen oder quadratische Gleichungen lösen.
Anleitung
Koeffizient von $\boldsymbol{x^2}$ aus $\boldsymbol{x^2}$ und $\boldsymbol{x}$ ausklammern
Quadratische Ergänzung
Negativen Term der quadratischen Ergänzung ausmultiplizieren
Binomische Formel auf Klammer anwenden
zu 2)
Ist ein Term in der Form
$$ x^2 + px $$
gegeben, so lautet die Formel für die quadratische Ergänzung
$$ x^2 + px +\left(\frac{p}{2}\right)^2 -\left(\frac{p}{2}\right)^2 = \left(x+ \frac{p}{2}\right)^2 -\left(\frac{p}{2}\right)^2 $$
Beispiel
Gegeben sei quadratische Gleichung
$$ f(x) = 2x^2 + 12x $$
Unsere Aufgabe ist es, diese Gleichung mithilfe der quadratischen Ergänzung in ein quadriertes Binom umzuformen. Dabei besprechen wir das Beispiel zunächst in einer Kurzfassung
, damit du die wesentlichen Schritte auf einen Blick hast. Danach gibt es eine Ausführliche Erklärung
, in der auf die einzelnen Schritte ausführlich eingegangen wird.
Kurzfassung
$$ f(x) = 2x^2 + 12x $$
Koeffizient von $\boldsymbol{x^2}$ aus $\boldsymbol{x^2}$ und $\boldsymbol{x}$ ausklammern
$$ \phantom{f(x)} = 2 \cdot (x^2 + 6x) $$
Quadratische Ergänzung
$$ \phantom{f(x)} = 2 \cdot \left(x^2 + {\color{red}6}x + \left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2 - \left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2\right) $$
$$ \phantom{f(x)} = 2 \cdot (x^2 + 6x {\color{blue}\:+\:9} {\color{blue}\:-\:9}) $$
Negativen Term der quadratischen Ergänzung ausmultiplizieren
$$ \begin{align*} \phantom{f(x)} &= {\color{red}2} \cdot \left(x^2 + 6x + 9 {\color{red}\:-\:9}\right) \\[5px] &= 2 \cdot \left(x^2 + 6x + 9\right) + {\color{red}2} \cdot ({\color{red}-9}) \\[5px] &= 2 \cdot \left(x^2 + 6x + 9\right) - 18 \end{align*} $$
Binomische Formel auf Klammer anwenden
$$ \begin{align*} \phantom{f(x)} &= 2 \cdot \left(x^2 + {\color{red}6}x + 9\right) - 18 \\[5px] &= 2 \cdot \left(x+\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2 - 18 \\[5px] &= 2 \cdot (x+3)^2 - 18 \end{align*} $$
Ausführliche Erklärung (Herleitung)
Damit wir aus dem gegebenen Term
$$ f(x) = 2x^2 + 12x $$
ein quadriertes Binom (z. B. $(a+b)^2$) machen können, müssen wir den Term zunächst so umformen, dass wir die binomische Formel
$$ a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 $$
anwenden können.
An Stelle von $a$ verwenden wir in der binomischen Formel im Folgenden die Variable $x$:
$$ x^2 + 2xb + b^2 = (x+b)^2 $$
Vergleichen wir die beiden Terme $2x^2 + 12x$ und $x^2 + 2xb + b^2$ miteinander, so können wir feststellen:
- Vor dem
$x^2$darf kein Faktor sein $b^2$fehlt in dem Term$2x^2 + 12x$, d. h. wir müssen einen quadrierten Term sinnvoll ergänzen (daher der NameQuadratische Ergänzung
), so dass wir danach die binomische Formel anwenden können
Koeffizient von $\boldsymbol{x^2}$ aus $\boldsymbol{x^2}$ und $\boldsymbol{x}$ ausklammern
$$ f(x) = 2(x^2 + 6x) $$
Mit diesem Schritt sind wir den Faktor vor dem $x^2$ los und dem Term $x^2 + 2xb + b^2$ ein Stückchen nähergekommen.
Quadratische Ergänzung
Was fehlt jetzt noch? Immer noch $b^2$!
Vergleichen wir die beiden Terme $x^2 + 6x$ und $x^2 + 2xb + b^2$ miteinander, so erkennen wir, dass gilt: $6x = 2xb$.
Zunächst kürzen wir das $x$ weg:
$$ 6 = 2b $$
Danach lösen wir die Gleichung nach $b$ auf:
$$ b = \frac{6}{2} $$
Gesucht ist aber $b^2$, also müssen wir die Gleichung noch quadrieren: $b^2 = \left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9$
Super! Wir haben die beiden Probleme, die wir zu Beginn hatten, beseitigt:
- Beim Vergleich der beiden Terme
$2x^2 + 12x$und$x^2 + 2xb + b^2$hatten wir zu Beginn festgestellt, dass uns die$2$vor dem$x^2$stört. Durch Ausklammern haben wir dieses Problem behoben:$2(x^2 + 6x)$. - Außerdem hat im ersten Term
$b^2$gefehlt. Wir wissen jetzt:$b^2 = 9$
Jetzt stehen wir vor einem neuen Problem: Was machen wir mit der $9$? Wir dürfen natürlich nicht einfach irgendwelche Zahlen zu Gleichungen addieren. Das würde ja den Wert der Gleichung verändern!
Wir bedienen uns eines kleinen Tricks
$$ 1 - 1 = 0 $$
…bitte was?! Du fragst dich völlig zu Recht, was das für ein toller Trick sein soll. Naja, dahinter steckt die Idee, dass wenn wir zu einer Gleichung eine Zahl addieren (z. B. $+1$) und danach die gleiche Zahl wieder abziehen (z. B. $-1$), sich der Wert der Gleichung nicht ändert. Nun wissen wir endlich, wie wir die berechnete $9$ in unsere Gleichung bekommen:
$$ f(x) = 2(x^2 + 6x + 9 - 9) $$
Negativen Term der quadratischen Ergänzung ausmultiplizieren
Jetzt stört uns natürlich die $-9$ in der Klammer, weshalb wir diese durch Ausmultiplizieren aus der Klammer holen.
$$ \begin{align*} f(x) &= {\color{green}2}(x^2 + 6x + 9~{\color{green}-\:9}) \\[5px] &= 2(x^2 + 6x + 9) + {\color{green}2} \cdot ({\color{green}-\:9}) \\[5px] &= 2(x^2 + 6x + 9) - 18 \end{align*} $$
Binomische Formel auf Klammer anwenden
Endlich ist die Gleichung in der richtigen Form, um die binomische Formel anwenden zu können.
Die binomische Formel
$$ {\color{red}x^2 + 2xb + b^2} = {\color{blue}(x+b)^2} $$
auf unser Beispiel angewendet ergibt:
$$ {\color{red}x^2 + 6x + 9} = {\color{blue}(x+3)^2} $$
bzw.
$$ f(x) = 2({\color{red}x^2 + 6x + 9}) - 18 $$
wird zu
$$ f(x) = 2{\color{blue}(x+3)^2} - 18 $$
Wir sind am Ziel!
Mithilfe der quadratischen Ergänzung haben wir den ursprünglichen Term
$$ f(x) = 2x^2 + 12x $$
in einen Term mit quadriertem Binom
$$ f(x) = 2(x+3)^2 - 18 $$
umgeformt.
Anwendungen
Scheitelpunktform berechnen
Berechne die Scheitelform der quadratischen Funktion
$$ f(x) = 3x^2 + 6x + 7 $$
Koeffizient von $\boldsymbol{x^2}$ aus $\boldsymbol{x^2}$ und $\boldsymbol{x}$ ausklammern
$$ f(x) = 3 \cdot (x^2 + 2x) + 7 $$
Quadratische Ergänzung
$$ \phantom{f(x)} = 3 \cdot \left(x^2 + {\color{red}2}x + \left(\frac{{\color{red}2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{{\color{red}2}}{2}\right)^2\right) + 7 $$
$$ \phantom{f(x)} = 3 \cdot (x^2 + 2x {\color{blue}\:+\:1} {\color{blue}\:-\:1}) + 7 $$
Negativen Term der quadratischen Ergänzung ausmultiplizieren
$$ \begin{align*} \phantom{f(x)} &= {\color{red}3} \cdot \left(x^2 + 2x + 1 {\color{red}\:-\:1}\right) + 7 \\[5px] &= 3 \cdot \left(x^2 + 2x + 1\right) + 7 + {\color{red}3} \cdot ({\color{red}-1}) \\[5px] &= 3 \cdot \left(x^2 + 2x + 1\right) + 7 - 3 \\[5px] &= 3 \cdot \left(x^2 + 2x + 1\right) + 4 \end{align*} $$
Binomische Formel auf Klammer anwenden
$$ \begin{align*} \phantom{f(x)} &= 3 \cdot \left(x^2 + {\color{red}2}x + 1\right) + 4 \\[5px] &= 3 \cdot \left(x+\frac{{\color{red}2}}{2}\right)^2 + 4 \\[5px] &= 3 \cdot (x+1)^2 + 4 \end{align*} $$
Als Ergebnis erhalten wir die quadratische Funktion in Scheitelpunktform.
Quadratische Gleichungen lösen
Siehe Kapitel Quadratische Gleichungen durch quadratische Ergänzung lösen
