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Quadratische Funktionen

In diesem Kapitel lernen wir quadratische Funktionen kennen.

Falls du dich zum ersten Mal mit quadratischen Funktionen beschäftigst, solltest du folgendes Einführungsvideo angucken.

Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet

\(f(x) = ax^2 + bx + c\)

Beispiele für quadratische Funktionen

\(f(x) = x^2\)

\(f(x) = -x^2 + 3\)

\(f(x) = 2x^2 + x - 7\)

\(f(x) = -3x^2 + 2x + 4\)

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

Einordnung quadratischer Funktionen

Im Laufe der Zeit wirst du verschiedene Funktionen kennenlernen. Die folgende Tabelle soll dir dabei helfen, die quadratischen Funktionen einzuordnen und von anderen Funktionen abzugrenzen.

Typ Normalform Beispiel
Konstante Funktion \(f(x) = c\) \(f(x) = 5\)
Lineare Funktion \(f(x) = mx + n\) \(f(x) = 2x + 5\)
Quadratische Funktion \(f(x) = ax^2 + bx + c\) \(f(x) = 3x^2 + 2x + 4\)
Kubische Funktion \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) \(f(x) = 4x^3 + 5x^2 + 3x + 2\)

Normalparabel

Als Normalparabel bezeichnet man den Graph der Funktion \(f(x) = x^2\).

Es handelt sich dabei um die einfachste und populärste quadratische Funktion, weshalb wir sie im Folgenden etwas genauer untersuchen.

Damit wir diese quadratische Funktion in ein Koordinatensystem einzeichnen können, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte (im Intervall von -3 bis +3).

\(f(-3) = (-3)^2 = 9\)

\(f(-2) = (-2)^2 = 4\)

\(f(-1) = (-1)^2 = 1\)

\(f(0) = 0^2 = 0\)

\(f(1) = 1^2 = 1\)

\(f(2) = 2^2 = 4\)

\(f(3) = 3^2 = 9\)

Wenn wir unsere Berechnungen übersichtlich in einer Wertetabelle darstellen, sieht das so aus

\(\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c}
\text{x-Werte} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
\text{y-Werte} & 9 & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 & 9 \\
\end{array}\)

Tragen wir die berechneten Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinden sie, erhalten wir die Normalparabel - also den Graph der Funktion \(f(x)=x^2\).

Im Folgenden schauen wir uns an, was wir an der Funktionsgleichung verändern müssen, um die Normalparabel im Koordinatensystem hin- und herzubewegen.

Normalparabel nach oben/unten verschieben

Interaktive Graphik

Verschiebe den Knopf nach links oder rechts und beobachte, wie sich der Graph der quadratischen Funktion \(f(x) = x^2\) nach oben (nach unten) verschiebt, indem man eine konstante Zahl addiert (subtrahiert).

Wir können die Normalparabel nach oben verschieben, wenn wir eine konstante Zahl \(c\) addieren.

\(f(x) = x^2 + c\)

Wir können die Normalparabel nach unten verschieben, wenn wir eine konstante Zahl \(c\) subtrahieren.

\(f(x) = x^2 - c\)

Normalparabel nach links/rechts verschieben

Interaktive Graphik

Verschiebe den Knopf nach links oder rechts und beobachte, wie sich der Graph der quadratischen Funktion \(f(x) = x^2\) nach rechts bzw. links verschiebt.

Möchte man eine Normalparabel im Koordinatensystem nach links oder rechts verschieben, muss man sich die Parabelgleichung \(f(x) = (x-d)^2\) anschauen.

Dabei wird die Normalparabel um \(d\) in Richtung der x-Achse verschoben und zwar nach rechts für ein positives \(d\) und nach links für \(d < 0\).

Normalparabel stauchen/strecken

Interaktive Graphik

Verschiebe den Knopf nach links oder rechts und beobachte, wie sich der Graph der quadratischen Funktion \(f(x) = ax^2\) in Abhängigkeit des Parameters \(a\) verändert.

Damit du dir Unterschiede deutlich machen kannst, haben wir zusätzlich die Normalparabel in grau eingezeichnet.

Möchte man die Normalparabel stauchen oder strecken, muss man sich die Parabelgleichung \(f(x) = ax^2\) anschauen.

\(a > 1\) Die Parabel ist nach oben geöffnet und schmaler* als die Normalparabel.
\(a = 1\) Dies ist die nach oben geöffnete Normalparabel.
\(0 < a < 1\) Die Parabel ist nach oben geöffnet und breiter** als die Normalparabel.
\(-1 < a < 0\) Die Parabel ist nach unten geöffnet und breiter** als die Normalparabel.
\(a = -1\) Dies ist die nach unten geöffnete Normalparabel.
\(a < -1\) Die Parabel ist nach unten geöffnet und schmaler* als die Normalparabel.

* statt "schmaler" sagt man auch, dass der Graph (in Richtung der y-Achse) gestreckt ist.

** statt "breiter" sagt man auch, dass der Graph (in Richtung der y-Achse) gestaucht ist.

Für \(a < 0\) ist die Parabel nach unten geöffnet. Das bedeutet, dass sie im Vergleich zur Normalparabel an der x-Achse gespiegelt ist.

Scheitelpunkt einer Parabel

Der Scheitelpunkt ist der höchste bzw. tiefste Punkt einer Parabel.

Ist die Parabel nach oben geöffnet, so ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt der Funktion.

Statt vom tiefsten Punkt spricht man auch vom Minimum der Funktion.

Ist die Parabel nach unten geöffnet, so ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt der Funktion.

Statt vom höchsten Punkt spricht man auch vom Maximum der Funktion.

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Mehr zu quadratischen Funktionen

Im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen gibt es einige Fragestellungen, die in Prüfungen immer wieder abgefragt werden. Aus diesem Grund empfiehlt es sich, die nachfolgenden Kapitel systematisch durchzuarbeiten. Viel Erfolg dabei!

Parabel zeichnen  
Parabel nach links oder rechts verschieben \(f(x) = (x-d)^2\)
Parabel nach oben oder unten verschieben \(f(x) = x^2 + c\)
Parabel strecken oder stauchen \(f(x) = ax^2\)
Punktprobe Liegt \(\text{P}\) auf \(\text{G}_f\)?
y-Achsenabschnitt berechnen \(x = 0\)
Nullstellen berechnen \(y = 0\)
Funktionsgleichung bestimmen \(f(x) = \dotsc\)
Quadratische Ergänzung \(x^2 +px + \left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2\)
Scheitelpunktform berechnen \(f(x) = a(x-d)^2 + e\)
Scheitelpunkt berechnen \(S(x_s|y_s)\)
Faktorisierte Form \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)
Lagebeziehungen  
Lagebeziehung Parabel-Parabel  
Lagebeziehung Parabel-Gerade  
Umkehrfunktion  
Umkehrfunktion bilden  
Aufgaben mit Lösungen  
Quadratische Funktionen - Aufgaben [eBook zum Download]

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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