Nullstellen
(Quadratische Funktionen)

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnet. Doch was versteht man überhaupt unter einer Nullstelle?

Bei der Untersuchung von quadratischen Funktionen interessiert man sich oftmals für die Schnittpunkte mit der x-Achse.

In der linken Abbildung ist der Graph einer quadratischen Funktion eingezeichnet. Seine Schnittpunkte mit der x-Achse sind rot hervorgehoben.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse besitzen die Koordinaten: \(\text{S}_1(-2|0)\) und \(\text{S}_2(2|0)\).

Die y-Koordinate eines Schnittpunktes mit der x-Achse ist immer Null. Aus diesem Grund genügt es, die x-Koordinate anzugeben. Diese x-Koordinate hat einen speziellen Namen:

Die x-Koordinate des Schnittpunktes eines Graphen mit der x-Achse bezeichnet man als Nullstelle.

Der Graph einer quadratischen Funktion besitzt maximal zwei Nullstellen:

Im Koordinatensystem ist die quadratische Funktion \(f(x) = x^2 - 4\) eingezeichnet.

Diese Funktion besitzt zwei Nullstellen.
\(x_1 = -2\)
\(x_2 = 2\)

Im Koordinatensystem ist die quadratische Funktion \(f(x) = x^2\) eingezeichnet.

Diese Funktion besitzt eine Nullstelle.
\(x_1 = 0\)

Im Koordinatensystem ist die quadratische Funktion \(f(x) = x^2 + 1\) eingezeichnet.

Diese Funktion besitzt keine Nullstelle.

Nullstellen berechnen

Nach der Gestalt der quadratischen Funktion lassen sich folgende vier Fälle unterscheiden:

  1. \(f(x) = ax^2\)
  2. \(f(x) = ax^2 + c\)
  3. \(f(x) = ax^2 + bx\)
  4. \(f(x) = ax^2 + bx + c = 0\)

Da die y-Koordinate eines Schnittpunktes mit der x-Achse immer Null ist, lautet der Ansatz zur Berechnung einer Nullstelle: \(y = 0\). Wegen \(y = f(x)\) kann man auch schreiben: \(f(x) = 0\).

1. Fall: \(f(x) = ax^2\)

Funktionen vom Typ \(f(x) = ax^2\) besitzen als einzige Nullstelle die Null.

Beispiele

\(f(x) = \phantom{-}4x^2 \:\qquad \Rightarrow \phantom{-}4x^2 = 0 \qquad \Rightarrow x = 0\)

\(f(x) = -2x^2 \:\qquad \Rightarrow -2x^2 = 0 \qquad \Rightarrow x = 0\)

\(f(x) = 0,5x^2 \qquad \Rightarrow 0,5x^2 = 0 \qquad \Rightarrow x = 0\)

2. Fall: \(f(x) = ax^2 + c\)

Vorgehensweise

  1. Gleichung nach \(x^2\) auflösen
  2. Wurzel ziehen

Beispiel 1

\(f(x) = x^2 - 9\)

Ansatz:

\(\begin{align*}
f(x) &= 0 \\
x^2 - 9 &= 0
\end{align*}\)

1.) Gleichung nach \(x^2\) auflösen

\(x^2 - 9 = 0 \qquad |{\color{red}+9}\)

\(x^2 - 9 {\color{red}\:+\:9} = {\color{red}+9}\)

\(x^2 = 9\)

2.) Wurzel ziehen

\(x^2 = 9 \qquad |\sqrt{\phantom{9}}\)

\(x = \pm \sqrt{9}\)

\(x = \pm 3\)

\(\Rightarrow x_1 = -3\)

\(\Rightarrow x_2 = 3\)

Beispiel 2

\(f(x) = 2x^2 + 8\)

Ansatz:

\(\begin{align*}
f(x) &= 0 \\
2x^2 + 8 &= 0
\end{align*}\)

1.) Gleichung nach \(x^2\) auflösen

\(2x^2 + 8 = 0 \qquad |{\color{red}-8}\)

\(2x^2 + 8 {\color{red}\:-\:8} = {\color{red}-8}\)

\(2x^2 = -8 \qquad |:{\color{maroon}2}\)

\(\frac{2x^2}{{\color{maroon}2}} = \frac{-8}{{\color{maroon}2}}\)

\(x^2 = -4\)

2.) Wurzel ziehen

\(x^2 = -4 \qquad |\sqrt{\phantom{9}}\)

\(x = \pm \sqrt{-4}\)

Die Wurzel einer negativen Zahl ist (in \(\mathbb{R}\)) nicht definiert!
\(\Rightarrow\) Es gibt keine Lösungen, d.h. die Lösungsmenge ist leer: \(\mathbb{L} = \{\}\).

3. Fall: \(f(x) = ax^2 + bx\)

Vorgehensweise

  1. \(x\) ausklammern
  2. Faktoren gleich Null setzen

zu 1.)

siehe Kapitel Ausklammern

zu 2.)

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist (> Satz vom Nullprodukt).

Beispiel 1

\(f(x) = x^2 + 9x\)

Ansatz:

\(\begin{align*}
f(x) &= 0 \\
x^2 + 9x &= 0
\end{align*}\)

1.) \(x\) ausklammern

\(x \cdot (x + 9) = 0\)

2.) Faktoren gleich Null setzen

\(\underbrace{x\vphantom{()}}_{\text{1. Faktor}} \cdot \underbrace{(x+9)}_{\text{2. Faktor}} = 0\)

1. Faktor

\(x = 0\)

\(\Rightarrow x_1 = 0\)

2. Faktor

\(x + 9 = 0 \qquad |{\color{red}-9}\)

\(x + 9 {\color{red}\:-\:9} = {\color{red}-9}\)

\(x = -9\)

\(\Rightarrow x_2 = -9\)

Beispiel 2

\(f(x) = -2x^2 + 4x\)

Ansatz:

\(\begin{align*}
f(x) &= 0 \\
-2x^2 + 4x &= 0
\end{align*}\)

1.) \(x\) ausklammern

\(x \cdot (-2x + 4) = 0\)

2.) Faktoren gleich Null setzen

\(\underbrace{x\vphantom{()}}_{\text{1. Faktor}} \cdot \underbrace{(-2x + 4)}_{\text{2. Faktor}} = 0\)

1. Faktor

\(x = 0\)

\(\Rightarrow x_1 = 0\)

2. Faktor

\(-2x + 4 = 0 \qquad |{\color{red}-4}\)

\(-2x + 4 {\color{red}\:-\:4} = {\color{red}-4}\)

\(-2x = -4 \qquad |:({\color{maroon}-2})\)

\(\frac{-2x}{{\color{maroon}-2}} = \frac{-4}{{\color{maroon}-2}}\)

\(x = 2\)

\(\Rightarrow x_2 = 2\)

4. Fall: \(f(x) = ax^2 + bx + c\)

Zu guter Letzt der schwierigste Fall: \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Die Berechnung der Nullstellen dieser Art von quadratischen Funktionen ist leider nicht so einfach. Grund dafür ist, dass man eine der folgenden Lösungsformeln beherrschen muss:

Neben diesen beiden populären Verfahren gibt es noch den Satz von Vieta, mit dessen Hilfe man die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen kann. Der Satz von Vieta ist aber nur für quadratische Funktionen geeignet, deren Nullstellen ganzzahlig sind.

Der Vollständigkeit halber sei noch erwähnt, dass man auch mit Hilfe der quadratischen Ergänzung quadratische Gleichungen lösen kann. Dieses Verfahren ist jedoch im Vergleich zu anderen sehr rechenaufwändig und wird daher zur Berechnung von Nullstellen nicht eingesetzt.

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Mehr zu quadratischen Funktionen

Im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen gibt es einige Fragestellungen, die in Prüfungen immer wieder abgefragt werden. Aus diesem Grund empfiehlt es sich, die nachfolgenden Kapitel systematisch durchzuarbeiten. Viel Erfolg dabei!

Parabel zeichnen  
Parabel nach links oder rechts verschieben \(f(x) = (x-d)^2\)
Parabel nach oben oder unten verschieben \(f(x) = x^2 + c\)
Parabel strecken oder stauchen \(f(x) = ax^2\)
Punktprobe Liegt \(\text{P}\) auf \(\text{G}_f\)?
y-Achsenabschnitt berechnen \(x = 0\)
Nullstellen berechnen \(y = 0\)
Funktionsgleichung bestimmen \(f(x) = \dotsc\)
Quadratische Ergänzung \(x^2 +px + \left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2\)
Scheitelpunktform berechnen \(f(x) = a(x-d)^2 + e\)
Scheitelpunkt berechnen \(S(x_s|y_s)\)
Faktorisierte Form \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)
Lagebeziehungen  
Lagebeziehung Parabel-Parabel  
Lagebeziehung Parabel-Gerade  
Umkehrfunktion  
Umkehrfunktion bilden  
Aufgaben mit Lösungen  
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Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!