Punktprobe
(Quadratische Funktionen)

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man die Punktprobe bei quadratischen Funktionen durchführt. Doch was versteht man überhaupt unter einer Punktprobe?

Bei der Punktprobe wird rechnerisch entschieden,
ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt.

Ist der Graph einer quadratischen Funktion gegeben, ist die Sache ziemlich einfach:

Wir erkennen, dass der Punkt \(\text{P}_2\)
(im Gegensatz zum Punkt \(\text{P}_1\))
auf der Parabel liegt.

Schwieriger ist es, wenn nur die Funktionsgleichung einer Funktion und die Koordinaten einiger Punkte gegeben sind. Dann sind wir nämlich gezwungen eine Punktprobe durchzuführen.

Vorgehensweise

  1. Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen
  2. Prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist

Ist die Gleichung erfüllt (z.B. \(5 = 5\)), liegt der Punkt auf der Parabel.
Ist die Gleichung nicht erfüllt (z.B. \(5 = 7\)), liegt der Punkt nicht auf der Parabel.

Punktprobe - Beispiel 1

Gegeben ist die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion

\({\color{blue}y} = 0,5{\color{red}x}^2 - 3\)

Überprüfe, ob der Punkt \(\text{P}_1({\color{red}-3}|{\color{blue}-5})\) auf der Parabel liegt.

1.) Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen

Für \(x\) setzen wir die \(x\)-Koordinate des Punktes ein, für \(y\) die \(y\)-Koordinate des Punktes.

\({\color{blue}-5} = 0,5 \cdot ({\color{red}-3})^2 - 3\)

2.) Prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist

\(-5 = 1,5\)

Die Gleichung ist nicht erfüllt, weshalb \(\text{P}_1\) nicht auf der Parabel liegt.

Punktprobe - Beispiel 2

Gegeben ist die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion

\({\color{blue}y} = 0,5{\color{red}x}^2 - 3\)

Überprüfe, ob der Punkt \(\text{P}_2({\color{red}4}|{\color{blue}5})\) auf der Parabel liegt.

1.) Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen

Für \(x\) setzen wir die \(x\)-Koordinate des Punktes ein, für \(y\) die \(y\)-Koordinate des Punktes.

\({\color{blue}5} = 0,5 \cdot {\color{red}4}^2 - 3\)

2.) Prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist

\(5 = 5\)

Die Gleichung ist erfüllt, weshalb \(\text{P}_2\) auf der Parabel liegt.

Fehlende Koordinate eines Punktes
auf der Parabel berechnen

In manchen Aufgabenstellungen ist die Gleichung einer Parabel \(y = ax^2 + bx + c\) und eine Koordinate (also entweder die \(x\)- oder die \(y\)-Koordinate) eines Punktes gegeben.
Die fehlende Koordinate soll dann so bestimmt werden, dass der Punkt auf der Parabel liegt.

Ist die x-Koordinate gegeben, geht man folgendermaßen vor:

  1. \(x\) in Gleichung einsetzen
  2. Zusammenrechnen

Beispiel

Gegeben ist die Gleichung einer Parabel: \(y = 2x^2 + 3x - 2\).

Bestimme die fehlende Koordinate des Punktes \(P({\color{red}1}|?)\), so dass \(P\) auf der Parabel liegt.

1.) \(x\) in Gleichung einsetzen

\(y = 2 \cdot {\color{red}1}^2 + 3 \cdot {\color{red}1} - 2\)

2.) Zusammenrechnen

\({\fcolorbox{blue}{}{\(y = {\color{blue}3}\)}}\)

\(\Rightarrow\) Der Punkt \(P({\color{red}1}|{\color{blue}3})\) liegt auf der Parabel \(y = 2x^2 + 3x - 2\).

Ist die y-Koordinate gegeben, geht man folgendermaßen vor:

  1. \(y\) in Gleichung einsetzen
  2. Quadratische Gleichung lösen

Beispiel

Gegeben ist die Gleichung einer Parabel: \(y = 2x^2 + 3x - 2\).

Bestimme die fehlende Koordinate des Punktes \(P(?|{\color{blue}3})\), so dass \(P\) auf der Parabel liegt.

1.) \(y\) in Gleichung einsetzen

\({\color{blue}3} = 2x^2 + 3x - 2\)

bzw.

\(2x^2 + 3x - 5 = 0\)

2.) Quadratische Gleichung lösen

Wir lösen die quadratische Gleichung

\(2x^2 + 3x - 5 = 0\)

mit Hilfe der Mitternachtsformel (oder der pq-Formel) und erhalten die Lösungen

\({\fcolorbox{red}{}{\(x_1 = {\color{red}1}\)}}\) und \({\fcolorbox{red}{}{\(x_2 = {\color{red}-2,5}\)}}\).

\(\Rightarrow\) Die Punkte \(P_1({\color{red}1}|{\color{blue}3})\) und \(P_2({\color{red}-2,5}|{\color{blue}3})\) liegen auf der Parabel.

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Mehr zu quadratischen Funktionen

Im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen gibt es einige Fragestellungen, die in Prüfungen immer wieder abgefragt werden. Aus diesem Grund empfiehlt es sich, die nachfolgenden Kapitel systematisch durchzuarbeiten. Viel Erfolg dabei!

Parabel zeichnen  
Parabel nach links oder rechts verschieben \(f(x) = (x-d)^2\)
Parabel nach oben oder unten verschieben \(f(x) = x^2 + c\)
Parabel strecken oder stauchen \(f(x) = ax^2\)
Punktprobe Liegt \(\text{P}\) auf \(\text{G}_f\)?
y-Achsenabschnitt berechnen \(x = 0\)
Nullstellen berechnen \(y = 0\)
Funktionsgleichung bestimmen \(f(x) = \dotsc\)
Quadratische Ergänzung \(x^2 +px + \left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2\)
Scheitelpunktform berechnen \(f(x) = a(x-d)^2 + e\)
Scheitelpunkt berechnen \(S(x_s|y_s)\)
Faktorisierte Form \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)
Lagebeziehungen  
Lagebeziehung Parabel-Parabel  
Lagebeziehung Parabel-Gerade  
Umkehrfunktion  
Umkehrfunktion bilden  
Aufgaben mit Lösungen  
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Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!