Rang einer Matrix

Unter dem Rang einer Matrix versteht man die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten- bzw. Zeilenvektoren.

Hinweis: In einer Matrix ist die größte Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren stets gleich der größten Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren.

An dieser Stelle solltest du dir noch einmal angucken, was es mit der linearen Abhängigkeit auf sich hat.

Beispiel

\(A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}\)

Da die 3. Spalte ein Vielfaches der 1. Spalte ist, sind die drei Vektoren linear abhängig. Die ersten beiden Spalten sind jedoch nicht Vielfache voneinander und somit linear unabhängig, weshalb der Rang dieser Matrix gleich 2 ist: \(rang(A) = 2\);

Rang einer Matrix berechnen

Das populärste Verfahren zum Berechnen des Ranges einer Matrix basiert auf dem Gauß-Algorithmus. Dabei soll mit Hilfe elementarer Umformungen, wie z.B.

  • Vertauschung von Zeilen
  • Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl
  • Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile

die Matrix in Zeilenstufenform umgeformt werden, denn es gilt:

Die Anzahl der Nichtnullzeilen einer Matrix in Zeilenstufenform entspricht dem Rang.

Beispiel 1

Welchen Rang besitzt die Matrix A?

\(A= \begin{pmatrix}1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}\)

1.) Berechnung der Null in der 2. Zeile (1. Spalte)

2. Zeile - \(2 \cdot\) 1. Zeile

\(\begin{array}{rrr}
1 & 3 & 2\\
{\color{red}0}& -2 & 0\\
3 & 5 & 6
\end{array}\)

2.) Berechnung der Null in der 3. Zeile (1. Spalte)

3. Zeile - \(3 \cdot\) 1. Zeile

\(\begin{array}{rrr}
1 & 3 & 2\\
{\color{red}0}& -2 & 0\\
{\color{red}0}& -4 & 0
\end{array}\)

3.) Berechnung der Null in der 3. Zeile (2. Spalte)

3. Zeile - \(2 \cdot\) 2. Zeile

\(\begin{array}{rrr}
1 & 3 & 2\\
{\color{red}0}& -2 & 0\\
{\color{red}0}&{\color{red}0}& 0
\end{array}\)

Interpretation des Ergebnisses

Der Rang der Matrix entspricht der Anzahl der Zeilen, in der nicht ausschließlich Nullen vorkommen.

Demnach handelt es sich um eine Matrix vom Rang 2.

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel untersuchen wir den Rang einer nicht-quadratischen Matrix mit Hilfe des Gauß-Algorithmus.

Welchen Rang besitzt die Matrix A?

\(A= \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 & 4 \\ 2 & -1 & -1 & 1 \\ 2 & -2 & 0 & 3 \end{pmatrix}\)

1.) Berechnung der Null in der 2. Zeile (1. Spalte)

Vertauschen der 1. und 2. Zeile

\(\begin{array}{rrr}
2 & -1 & -1 & 1\\
{\color{red}0}& -2 & 2 & 4\\
2 & -2 & 0 & 3
\end{array}\)

2.) Berechnung der Null in der 3. Zeile (1. Spalte)

3. Zeile - 1. Zeile

\(\begin{array}{rrr}
2 & -1 & -1 & 1\\
{\color{red}0}& -2 & 2 & 4\\
{\color{red}0}& -1 & 1 & 2
\end{array}\)

3.) Berechnung der Null in der 3. Zeile (2. Spalte)

3. Zeile - \(0,5 \cdot\) 2. Zeile

\(\begin{array}{rrr}
2 & -1 & -1 & 1\\
{\color{red}0}& -2 & 2 & 4\\
{\color{red}0}&{\color{red}0}& 0 & 0
\end{array}\)

Interpretation des Ergebnisses

Der Rang der Matrix entspricht der Anzahl der Zeilen, in der nicht ausschließlich Nullen vorkommen.

Demnach handelt es sich um eine Matrix vom Rang 2.

Spezialfall: Rang quadratischer Matrizen

Entspricht der Rang einer quadratischen Matrix ihrer Zeilen- und Spaltenzahl, wird sie reguläre Matrix genannt. Reguläre Matrizen sind invertierbar, d.h. es lässt sich eine inverse Matrix berechnen.

Beispiel einer regulären Matrix

Quadratische Matrizen sind genau dann regulär, wenn ihre Determinante von Null verschieden ist.

\(|A|= \begin{vmatrix}1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \\ 1 & 4 & 7 \end{vmatrix} = -10\)

Da die quadratische Matrix 3 Zeilen bzw. 3 Spalten besitzt und ihre Determinante ungleich Null ist, hat die Matrix den Rang 3.

Beispiel einer singulären Matrix

Ist die Determinante einer quadratischen Matrix gleich Null, so heißt die Matrix singulär - dabei handelt es sich um eine Matrix, die keine Inverse besitzt.

\(|A|= \begin{vmatrix}1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 6 \end{vmatrix} = 0\)

Über den Rang dieser Matrix lässt sich nur die Aussage treffen, dass er kleiner als 3 ist. Wie man den exakten Rang einer Matrix berechnet, haben wir bereits ausführlich besprochen.

Ps. Weißt du noch, wie man 3x3 Determinanten berechnet?

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!