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Raute

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Raute ist. Für alle, die das Wort noch nie gehört haben: Ein Raute ist eine geometrische Figur, genauer gesagt ein Viereck, mit speziellen Eigenschaften.

Erforderliches Vorwissen

Definition 

Eine Raute ist ein Viereck mit
vier gleich langen Seiten.

Manche Mathematiker bezeichnen eine Raute auch als Rhombus.

Beispiel einer Raute

Die vier gleich langen Seiten bezeichnen wir mit dem Kleinbuchstaben $a$.

Abb. 1 / Raute 

Eigenschaften 

Geerbte Eigenschaften 

Ecken 

Jedes Viereck hat vier Ecken.

Abb. 2 / Ecken 

Seiten 

Jedes Viereck hat vier Seiten.

Abb. 3 / Seiten 

Winkel 

In jedem Viereck
– gibt es vier Innenwinkel
– beträgt die Winkelsumme $360^\circ$
   $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$

Abb. 4 / Winkel 

Diagonale 

Jedes Viereck hat zwei Diagonalen.

Abb. 5 / Diagonale 

Spezielle Eigenschaften 

Seiten 

In einer Raute sind
– alle Seiten gleich lang
   $a = b = c = d$
– gegenüberliegende Seiten parallel
   $a \parallel c$ und $b \parallel d$

Abb. 6 / Seiten 

Winkel 

In einer Raute
– sind gegenüberliegende Winkel gleich groß
   $\alpha = \gamma$ und $\beta = \delta$
– ergänzen sich benachbarte Winkel zu $180^\circ$
   $\alpha + \beta = \beta + \gamma = \gamma + \delta = \delta + \alpha = 180^\circ$

Abb. 7 / Winkel 

Diagonale 

Die Diagonalen einer Raute
– halbieren einander
– stehen aufeinander senkrecht ($e \bot f$)
– halbieren die Innenwinkel der Raute

Abb. 8 / Diagonale 

Symmetrie 

Eine Raute ist achsensymmetrisch zu
– den beiden Diagonalen

Eine Raute ist punktsymmetrisch zu
– dem Schnittpunkt der Diagonalen $S$

Abb. 9 / Symmetrie 

Höhe 

Die Höhe einer Raute entspricht dem Abstand der parallelen Seiten.

In einer Raute sind alle Höhen gleich lang. $h_a = h_b = h_c = h_d$

Abb. 10 / Höhe 

Inkreis 

Eine Raute besitzt einen Inkreis. ($\Rightarrow$ Tangentenviereck)

Mittelpunkt: Diagonalenschnittpunkt $S$

Radius: $r_i = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sin \alpha$ Der Inkreisradius entspricht dem Normalabstand des Mittelpunkts zu einer Seite der Raute.

Abb. 11 / Inkreis 

Raute berechnen 

Umfang 

$$ U = 4a $$

Umfang einer Raute

Abb. 12 / Umfang 

Flächeninhalt 

$$ \begin{align*} A &= a \cdot h_a &&{\color{gray}|\text{ 1. Formel}} \\[5px] &= \frac{1}{2} e f &&{\color{gray}|\text{ 2. Formel}} \\[5px] &= a^2 \sin \alpha &&{\color{gray}|\text{ 3. Formel}} \end{align*} $$

Flächeninhalt einer Raute

Abb. 13 / Flächeninhalt 

Diagonale 

$$ e = 2 \cdot a \cdot \cos\frac{\alpha}{2} $$

$$ f = 2 \cdot a \cdot \sin\frac{\alpha}{2} $$

Abb. 14 / Diagonale 

Seitenlänge 

$$ a = \sqrt{\left(\frac{e}{2}\right)^2 + \left(\frac{f}{2}\right)^2} $$

Abb. 15 / Seitenlänge 

Spezielle Rauten 

Quadrat

= rechtwinklige Raute

Abb. 16 / Quadrat 

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