Rechtwinkliges Dreieck
Dreiecke lassen sich in verschiedene Dreiecksarten einteilen. Eine Einteilung nach den Winkelgrößen führt zu spitzwinkligen Dreiecken, rechtwinkligen Dreiecken und stumpfwinkligen Dreiecken. In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein rechtwinkliges Dreieck ist.
Erforderliches Vorwissen
- Dreieck
- Rechter Winkel (Winkel mit einer Größe von
$90^\circ$)
Definition
Ein Dreieck mit einem rechten Winkel heißt rechtwinkliges Dreieck.
Bezeichnungen
Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse. Die Hypotenuse ist die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks.
Jede der beiden kürzeren Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks heißt Kathete. Die Katheten sind die Schenkel des rechten Winkels.
Die Höhe auf die Hypotenuse teilt diese in zwei Teile, die Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$.
In bestimmten Situationen ist es sinnvoll, die beiden Katheten voneinander zu unterscheiden:
Winkel $\alpha$ im Fokus der Betrachtung
Die dem Winkel $\alpha$ anliegende Kathete heißt Ankathete.
Die dem Winkel $\alpha$ gegenüberliegende Kathete heißt Gegenkathete.
Winkel $\beta$ im Fokus der Betrachtung
Die dem Winkel $\beta$ anliegende Kathete heißt Ankathete.
Die dem Winkel $\beta$ gegenüberliegende Kathete heißt Gegenkathete.
Eigenschaften
Winkel
In einem rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel ein rechter Winkel.
(In der Abbildung gilt: $\gamma = 90^\circ$)
Die beiden anderen Winkel sind spitze Winkel. Sie sind Komplementwinkel, d. h. sie ergeben zusammen $90^\circ$.
(In der Abbildung gilt: $\alpha + \beta = 90^\circ$)
Seiten
Ein rechtwinkliges Dreieck kann unregelmäßig oder gleichschenklig sein.
(Zur Erinnerung: Gleichseitige Dreieck sind immer spitzwinklig!)
Besondere Punkte und Linien
Umkreismittelpunkt
Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt genau in der Mitte der Hypotenuse.
Anmerkung
Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks.
Höhenschnittpunkt
Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt im Scheitelpunkt des rechten Winkels.
Anmerkung 1
Der Höhenschnittpunkt ist der Schnittpunkt der drei Höhen eines Dreiecks. In einem rechtwinkligen Dreieck stimmen die Höhen auf die Katheten mit den Katheten überein.
(In der Abbildung gilt: $h_a = b$ und $h_b = a$)
Anmerkung 2
Die Höhe auf die Hypotenuse (in der Abbildung: $h_c$) ist die einzige Höhe im rechtwinkligen Dreieck, die mit keiner Seite zusammenfällt. Wegen dieser Sonderstellung nennen wir sie die Höhe des rechtwinkligen Dreiecks
und bezeichnen sie einfach mit $h$.
Formeln
Umfang
Flächeninhalt
$$ \begin{align*} A &= \frac{1}{2} \cdot \text{ Grundseite } \cdot \text{ Höhe } \\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \left(= \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\right) \\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b \left(= \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\right) \\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c \end{align*} $$
(Wegen $h_a = b$ und $h_b = a$!)
