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Regel von l'Hospital

In diesem Kapitel besprechen wir, wann und wie man die Regel von l'Hospital einsetzt.

Bevor du dich mit diesem Thema beschäftigst, solltest du den folgenden Artikel durchlesen

Außerdem musst du wissen, wie man Funktionen ableitet.

Wann setzt man die Regel von l'Hospital ein?

Die Regel von l'Hospital setzt man ein, wenn man den Grenzwert einer Funktion vom Typ

\[f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}, \qquad \text{d.h.} \quad \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{h(x)}\]

berechnen soll und als Ergebnis einen unbestimmten Ausdruck wie \(\frac{0}{0}\) bzw. \(\frac{\infty}{\infty}\) erhält.

Was besagt die Regel von l'Hospital?

Die Regel von l'Hospital besagt, dass in dem eben beschriebenen Fall der Grenzwert der Funktion \(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\) folgendermaßen berechnet werden kann:

  1. Zählerfunktion \(g(x)\) und Nennerfunktion \(h(x)\) getrennt voneinander ableiten
  2. Grenzwert von \(\frac{g'(x)}{h'(x)}\) für \(x \to x_0\) berechnen

Ist dieser Grenzwert vorhanden, so ist er gleich dem gesuchten Grenzwert \(\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{h(x)}\).

Zusammenfassung

Für Grenzwerte, die auf einen unbestimmten Ausdruck der Form \(\frac{0}{0}\) oder \(\frac{\infty}{\infty}\) führen, gilt die Regel von l'Hospital

\[\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{h(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{g'(x)}{h'(x)}\]

Es gibt Fälle, in denen erst die mehrmalige Anwendung dieser Grenzwertregel zum Ziel führt.

Es kann vorkommen, dass die Regel versagt. Nicht bei jeder Aufgabenstellung lässt sich mit Hilfe der Regel von l'Hospital ein Grenzwert berechnen.

Übrigens gilt die Regel von l'Hospital auch, wenn es sich um Grenzübergänge vom Typ \(x \to +\infty\) oder \(x \to -\infty\) handelt.

Beispiel 1

\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \frac{0}{0}\]

Aufgrund des unbestimmten Ausdrucks \(\frac{0}{0}\) können wir die Regel von l'Hospital anwenden, d.h. wir leiten den Zähler und den Nenner getrennt voneinander ab und berechnen anschließend den Grenzwert des neuen Terms.

\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(e^x - 1)'}{(x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x }{1} = \lim_{x \to 0} e^x = 1\]

Durch die Anwendung der Regel von l'Hospital ist es uns möglich, den Grenzwert dieser Funktion eindeutig zu bestimmen.

Beispiel 2

\[\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \frac{\infty}{\infty}\]

Aufgrund des unbestimmten Ausdrucks \(\frac{\infty}{\infty}\) können wir die Regel von l'Hospital anwenden, d.h. wir leiten den Zähler und den Nenner getrennt voneinander ab und berechnen anschließend den Grenzwert des neuen Terms.

\[\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(\ln x)'}{(x)'} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0\]

Auch bei dieser Aufgabe leistet die Regel von l'Hospital gute Dienste.

Unbestimmte Ausdrücke umformen

Die Regel von l'Hospital gilt zwar nur für unbestimmte Ausdrücke der Form \(\frac{0}{0}\) oder \(\frac{\infty}{\infty}\), die anderen unbestimmten Ausdrücke

  • \(0 \cdot \infty\) bzw. \(\infty \cdot 0\)
  • \(\infty - \infty\)
  • \(0^0,~ \infty^{0}, 1^{\infty}\)

können jedoch mit Hilfe sog. elementarer Umformungen so umgeformt werden, dass man die Regel von l'Hospital verwenden kann.

Die folgende Tabelle zeigt dir die jeweilige Funktion, ihren Grenzwert sowie die Formel für die elementare Umformung, die nötig ist, um die Regel von l'Hospital anwenden zu können.

 

Funktion \(f(x)\)

\[\lim_{x \to x_0} f(x)\]

Elementare Umformung

a)

\(g(x) \cdot h(x)\)

\(0 \cdot \infty\) bzw. \(\infty \cdot 0\)

\[\frac{g(x)}{\frac{1}{h(x)}} \quad \text{bzw.} \quad \frac{h(x)}{\frac{1}{g(x)}}\]

b)

\(g(x) - h(x)\)

\(\infty - \infty\)

\[\frac{\frac{1}{h(x)}-\frac{1}{g(x)}}{\frac{1}{g(x) \cdot h(x)}}\]

c)

\(g(x)^{h(x)}\)

\(0^0,~ \infty^{0}, 1^{\infty}\)

\[e^{h(x) \cdot \ln g(x)}\]

Grenzwertberechnung von A bis Z

Im Zusammenhang mit der Berechnung von Grenzwerten gibt es einige Kenntnisse, die man sich aneignen sollte. Diese werden in den folgenden Kapiteln ausführlich erläutert.

Grenzwerte <- Grundlagen
Rechenregeln für Grenzwerte  
Grenzwert einer Potenzfunktion \[\lim_{x\to\infty} x^n\]
Grenzwert einer Exponentialfunktion \[\lim_{x\to\infty} a^x\]
Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion \[\lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + \dots + a_1 x + a_ 0}{b_m x^m + \dots + b_1 x + b_ 0}\]
Regel von l'Hospital \[\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{0}{0} \quad \text{oder } \frac{\infty}{\infty}\]
Anwendungen  
Stetigkeit einer Funktion \[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!