Relative Häufigkeit

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der relativen Häufigkeit.

Aufgrund der engen Verwandtschaft zur absoluten Häufigkeit, definieren wir erst diesen Begriff:

Die absolute Häufigkeit \(H_n(E)\) gibt an, wie oft das Ereignis \(E\) innerhalb eines Zufallsexperiments, welches \(n\)-mal ausgeführt wird, aufgetreten ist.

Zur absoluten Häufigkeit sagt man umgangssprachlich auch einfach "Anzahl".

Beispiel

Wir werfen 100 mal einen Würfel und fertigen dazu folgende Tabelle an

\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r}
\text{Ereignis} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\text{absolute Häufigkeit} & 12 & 20 & 17 & 15 & 22 & 14 \\
\end{array}

Die absolute Häufigkeit muss man natürlich immer relativ zur Anzahl \(n\) aller Versuche sehen.

  • \(H_{100}(\{1\}) = 12\)
    Ein Würfel wurde 100 mal geworfen. Dabei war 12 mal die Augenzahl 1 oben.
  • \(H_{200}(\{1\}) = 12\)
    Ein Würfel wurde 200 mal geworfen. Dabei war 12 mal die Augenzahl 1 oben.

Zwar ist die absolute Häufigkeit in den obigen Beispielen jeweils 12, jedoch unterscheiden sich offenkundig die relativen Häufigkeiten voneinander. "Relativ" meint dabei, relativ zur Anzahl der Versuche. Es wird Zeit, die relative Häufigkeit zu definieren.

Definition der relativen Häufigkeit

Tritt ein Ereignis \(E\) bei \(n\) Versuchen \(k\)-mal ein, so heißt die Zahl

\[h_n(E) = \frac{k}{n}\]

relative Häufigkeit des Ereignisses \(E\).

Das bedeutet:
Teilen wir die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilen, erhalten wir die relative Häufigkeit.

\[\text{relative Häufigkeit} = \frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Anzahl der Versuche}}\]

oder

\[h_n(E) = \frac{H_n(E)}{n}\]

Beispiel

Mit unserem neuen Wissen können wir ganz leicht die relativen Häufigkeiten unseres anfänglichen Beispiels "100 maliges Werfen eines Würfels" berechnen:

\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r}
\text{Ereignis} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\text{absolute Häufigkeit} & 12 & 20 & 17 & 15 & 22 & 14 \\
\hline
\text{relative Häufigkeit} & \frac{12}{100} & \frac{20}{100} & \frac{17}{100} & \frac{15}{100} & \frac{22}{100} & \frac{14}{100} \\
\end{array}

Um weitere Berechnungen zu vereinfachen, wandelt man die Brüche meist in Dezimalzahlen um, so dass die Tabelle vereinfacht folgendermaßen aussieht

\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r}
\text{Ereignis} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\text{absolute Häufigkeit} & 12 & 20 & 17 & 15 & 22 & 14 \\
\hline
\text{relative Häufigkeit} & 0,12 & 0,2 & 0,17 & 0,15 & 0,22 & 0,14 \\
\end{array}

Eine weitere Möglichkeit ist es, die relative Häufigkeit in einen Prozentwert umzuwandeln. Dazu multiplizieren wir den Bruch oder die Dezimalzahl mit 100%.

  • \(\frac{12}{100} \cdot 100\% = 12\%\)
  • \(0,12 \cdot 100\% = 12\%\)

In der folgenden Tabelle sind alle drei Möglichkeiten zur Darstellung der relativen Häufigkeit zusammenfassend dargestellt

\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r}
\text{Ereignis} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\text{absolute Häufigkeit} & 12 & 20 & 17 & 15 & 22 & 14 \\
\hline
\text{relative Häufigkeit} & \frac{12}{100} & \frac{20}{100} & \frac{17}{100} & \frac{15}{100} & \frac{22}{100} & \frac{14}{100} \\
& 0,12 & 0,2 & 0,17 & 0,15 & 0,22 & 0,14 \\
& 12\% & 20\% & 17\% & 15\% & 22\% & 14\% \\
\end{array}

Eigenschaften der relativen Häufigkeit

  • \(0 \leq h_n(E) \leq 1\)
    Die relative Häufigkeit nimmt Werte zwischen 0 und 1 an.

  • \(h_n(\Omega) = 1\)
    Die relative Häufigkeit des sicheren Ereignisses ist 1.

  • \(h_n(\{\}) = 0\)
    Die relative Häufigkeit des unmöglichen Ereignisses ist 0.

  • \(h_n(E) + h_n(\bar{E}) = 1\)
    Jedes Ereignis \(E\) und sein Gegenereignis \(\bar{E}\) ergänzen sich zum Ergebnisraum \(\Omega\). Daraus ergibt sich die wichtige Eigenschaft: \(h_n(\bar{E}) = 1 - h_n(E)\);

  • \(h_n(E)= h_n(\{\omega_1\})+ h_n(\{\omega_2\}) + \dots + h_n(\{\omega_k\}) = \sum_{i=1}^{k} h_n(\{\omega_i\})\)
    Die relative Häufigkeit des Ereignisses \(E\) entspricht der Summe der relativen Häufigkeiten der Ergebnisse \(\omega_1\), \(\omega_2\)..., \(\omega_k\), aus denen das Ereignis \(E\) zusammengesetzt ist.

  • \(h_n(A \cup B) = h_n(A) + h_n(B) - h_n(A \cap B)\)
    Sind die beiden Ereignisse A und B unvereinbar, d.h. wenn \(A \cap B = \{\}\) gilt, so verkürzt sich die Formel zu: \(h_n(A \cup B) = h_n(A) + h_n(B)\);

Von der relativen zur absoluten Häufigkeit

Manchmal ist nur die relative Häufigkeit sowie die Anzahl der Versuche bekannt und man möchte die absolute Häufigkeit berechnen. Dabei gilt:

\[\text{absolute Häufigkeit} = \text{relative Häufigkeit} \cdot \text{Anzahl der Versuch}\]

\[H_n(E) = h_n(E) \cdot n\]

Eine Münze wurde 200 mal geworfen. In 40% der Fälle lag "Kopf" oben. Wie oft lag "Kopf" oben?

\(0,4 \cdot 200 = 80\)

Antwort: In 80 von 200 Würfen lag "Kopf" oben.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!