Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

In diesem Kapitel besprechen wir, was der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit besagt.

Notwendiges Vorwissen

> Bedingte Wahrscheinlichkeit

Problemstellung

Gegeben sind ein zweistufiges Zufallsexperiment mit zwei Ereignissen \(A\) und \(B\) sowie die bedingten Wahrscheinlichkeiten und die Wahrscheinlichkeiten des bedingenden Ereignisses.

Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit liefert eine Antwort auf die Frage, wie groß die totale Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(A\) ist.

Gesucht ist also \(P(A)\).

Totale Wahrscheinlichkeit - Herleitung

Die totale Wahrscheinlichkeit berechnet man mit Hilfe der 2. Pfadregel.

2. Pfadregel

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich
der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade,
die zu diesem Ereignis führen.

Für unser Beispiel gilt:

\(P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})\)
\(\phantom{P(A)} = P(B) \cdot P_B(A) + P(\bar{B}) \cdot P_{\bar{B}}(A)\)

In Mathematikbüchern wird der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit meist so aufgeschrieben:

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit für zwei Ereignisse \(A\) und \(B\)

\(P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})\)
\(\phantom{P(A)} = P(B) \cdot P_B(A) + P(\bar{B}) \cdot P_{\bar{B}}(A)\)

Totale Wahrscheinlichkeit - Beispiele

a) Bürgermeisterwahl

Eine Gemeinde wird zur Bürgermeisterwahl in zwei Wahlbezirke (\(B_1\) und \(B_2\)) eingeteilt.
60% der Wähler kommen aus \(B_1\), 40% aus \(B_2\).
In \(B_1\) erhält der Kandidat Albrecht 30% der Stimmen, in \(B_2\) dagegen 80%.

Wie viel Prozent der Stimmen hat der Kandidat Albrecht insgesamt bekommen?

Die Aufgabe lässt sich in einem Baumdiagramm wunderbar veranschaulichen.


\(P(A) = P(A \cap B_1) + P(A \cap B_2)\)
\(\phantom{P(A)} = 0,6 \cdot 0,3 + 0,4 \cdot 0,8 = 0,5\)

Antwort:
Genau 50% aller Wähler haben für den Kandidaten Albrecht gestimmt.

b) Urnenmodell

In einer Urne befinden 4 schwarze und 5 weiße Kugeln.
Wir ziehen zwei Kugeln ohne Zurücklegen heraus.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine der beiden Kugeln schwarz ist?

Die Aufgabe lässt sich in einem Baumdiagramm wunderbar veranschaulichen.

1. Ziehung

Da 4 von 9 Kugeln schwarz sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit, bei der 1. Ziehung einer schwarze Kugel zu ziehen, genau \(\frac{4}{9}\).

Die Wahrscheinlichkeit, bei der 1. Ziehung eine weiße Kugel zu ziehen, entspricht demnach \(\frac{5}{9}\).

2. Ziehung unter der Bedingung, dass
man bereits eine schwarze Kugel hat


Da wir bereits eine Kugel gezogen haben, befinden sich nur noch 8 Kugeln in der Urne:
3 schwarze und 5 weiße.

2. Ziehung unter der Bedingung, dass
man bereits eine weiße Kugel hat


Da wir bereits eine Kugel gezogen haben, befinden sich nur noch 8 Kugeln in der Urne:
4 schwarze und 4 weiße.

Mit Hilfe des Baumdiagramms können wir die Beispielaufgabe sehr einfach lösen.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau eine der gezogenen Kugeln schwarz ist.

Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit sagt:
\(P(\{SW,WS\})= \frac{4}{9} \cdot \frac{5}{8} + \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8}\)
\(\phantom{P(\{SW,WS\})} = \frac{5}{9} \approx 55,56\%\)

Antwort:
Zu 55,56% ist bei zwei Ziehungen aus einer Urne mit 4 schwarzen und 5 weißen Kugeln genau eine der Kugeln schwarz.

Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit verrät uns, wie man in einem mehrstufigen Zufallsexperiment die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen berechnet. In einem Baumdiagramm entspricht jeder Ast einem Elementarereignis. Ein Ereignis entspricht mehreren Elementarereignissen. Die Berechnung erfolgt mit Hilfe der 2. Pfadregel.

Mehr zur bedingten Wahrscheinlichkeit

Aus der bedingten Wahrscheinlichkeit ergeben sich eine Vielzahl interessanter Sätze:

  Was ist gesucht? Beispiel
Multiplikationssatz Elementarereignis \(P(A \cap B)\)
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Ereignis \(P(A)\)
Satz von Bayes Umgekehrte Schlussfolgerung \(P_A(B) \rightarrow P_B(A)\)

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
Über das Kontaktformular kannst du mit dem Autor direkt in Verbindung treten.