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Satz des Pythagoras

In diesem Kapitel besprechen wir den Satz des Pythagoras.

Wiederholung wichtiger Begriffe im rechtwinkligen Dreieck

Die Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkliges Dreiecks. Sie liegt stets gegenüber dem rechten Winkel.

Als Kathete bezeichnet man jede der beiden kürzeren Seiten des rechtwinkligen Dreiecks. Diese beiden Seiten bilden den rechten Winkel.

Die Ecken des Dreiecks werden mit Großbuchstaben (A, B, C) gegen den Uhrzeigersinn beschriftet.

Die Seiten des Dreiecks werden mit Kleinbuchstaben (a, b, c) beschriftet. Dabei liegt die Seite a gegenüber dem Eckpunkt A...

Die Winkel des Dreiecks werden mit griechischen Buchstaben beschriftet. Dabei befindet sich der Winkel \(\alpha\) beim Eckpunkt A...

Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Quadrate der Katheten genauso groß ist wie das Quadrat der Hypotenuse.

Mathematisch formuliert: \(a^2 + b^2 = c^2\).

Wir wissen bereits, dass es sich bei \(a\), \(b\) und \(c\) um die Seiten des Dreiecks handelt. Doch was kann man sich dann unter \(a^2\), \(b^2\) und \(c^2\) vorstellen?

In der 5. oder 6. Klasse hast du dich wahrscheinlich zum ersten Mal mit Flächen auseinandergesetzt. Schauen wir uns dazu ein kleines Beispiel an.

Von einer Länge zu einer Fläche

Wenn du auf einem karierten Blatt Papier ein Quadrat mit der Seitenlänge 4 cm zeichnest, dann ist die umrandete Fläche 16 cm² groß.

Rechnerisch:
\(4\text{ cm} \cdot 4\text{ cm} = 16\text{ cm}^2\)

Mit diesem Wissen aus der Unterstufe können wir uns \(a^2\), \(b^2\) und \(c^2\) schon besser vorstellen. Es handelt sich offenbar um drei Quadrate mit den Seitenlängen \(a\), \(b\) und \(c\).

In der folgenden Abbildung versuchen wir die beiden Kathetenquadrate sowie das Hypotenusenquadrat zu veranschaulichen:

Die Kathetenquadrate erhalten wir, indem wir die Seiten \(a\) und \(b\) als Seitenlänge eines Quadrates interpretieren.

Das Hypotenusenquadrat erhalten wir, indem wir die Hypotenuse (Seite \(c\)) als Seitenlänge eines Quadrates interpretieren.

Laut Pythagoras gilt:
grüne Fläche + blaue Fläche \(=\) rote Fläche
\({\color{green}a^2\qquad\qquad} +{\color{blue}b^2\qquad \qquad} ={\color{red}c^2}\)

Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Kathetenquadrate (d.h. die Summe der grünen und blauen Fläche) genauso groß ist wie das Hypotenusenquadrat (rote Fläche).

Wenn du bis hierhin alles verstanden hast, dann denkst du dir wahrscheinlich gerade: "Längen, Flächen, Dreiecke...alles schön und gut, aber was bringt mir der Satz des Pythagoras?".

Wie du im nächsten Abschnitt sehen wirst, gibt es zahlreiche Fragestellungen, bei denen sich der Satz des Pythagoras als äußerst nützlich erweist.

Satz des Pythagoras: Anwendungen

Im Folgenden besprechen wir einige Aufgaben, die im Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras immer wieder abgefragt werden.

Zwei Seiten gegeben -> dritte Seite gesucht

Ist die Länge zweier Seiten gegeben, so hilft der Satz des Pythagoras dabei, die Länge der dritten Seite zu finden.

Beispiel 1

Gegeben sind die Längen der Katheten \(a\) und \(b\) eines rechtwinkligen Dreiecks:

\(a = 3\)

\(b = 4\)

Gesucht ist die Länge der Hypotenuse \(c\).

Nach Pythagoras gilt: \(a^2 + b^2 = c^2\).

Setzen wir \(a = 3\) und \(b = 4\) in die Formel ein, so halten wir:

\(3^2 + 4^2 = c^2\)

\(9 + 16 = c^2\)

\(25 = c^2\)

Jetzt müssen wir die Gleichung noch nach \(c\) auflösen:

\(c = \sqrt{25} = 5\)

Antwort: Die Hypotenuse hat eine Länge von 5 Längeneinheiten.

Beispiel 2

Gegeben sind ist Länge der Kathete \(a\) sowie der Hypotenuse \(c\) eines rechtwinkliges Dreiecks:

\(a = 8\)

\(c = 10\)

Gesucht ist die Länge der Kathete \(b\).

Nach Pythagoras gilt: \(a^2 + b^2 = c^2\).

Setzen wir \(a = 8\) und \(c = 10\) in die Formel ein, so halten wir:

\(8^2 + b^2 = 10^2\)

\(64 + b^2 = 100\)

\(b^2 = 100 - 64\)

\(b^2 = 36\)

Jetzt müssen wir die Gleichung noch nach \(b\) auflösen:

\(b = \sqrt{36} = 6\)

Antwort: Die Kathete \(b\) hat eine Länge von 6 Längeneinheiten.

Handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck?

Sind die Längen aller drei Seiten eines Dreiecks bekannt, so kann uns der Satz des Pythagoras dabei helfen herauszufinden, ob es sich bei diesem Dreieck um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Interessant ist, dass wir dazu keinen einzigen Winkel messen müssen!

Beispiel 1

Gegegeben sind die Längen aller drei Seiten eines Dreiecks.

1. Seite: 2 cm

2. Seite: 5 cm

3. Seite: 3 cm

Überprüfe, ohne einen Winkel zu messen, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

Überlegung: Wenn das Dreieck rechtwinklig wäre, dann müsste der Satz des Pythagoras gelten. Wir setzen also die gegebenen Werte in die Formel ein und betrachten dann, was dabei herauskommt.

Damit du die Werte richtig in die Formel einsetzt, musst du daran denken, dass die beiden kürzeren Seiten die Katheten sind.

Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, so gilt:

\(2^2 + 3^2 = 5^2\)

\(4 + 9 = 25\)

\(13 = 25\)

Da der Satz des Pythagoras zu einem falschen Ergebnis führt, ist das Dreieck nicht rechtwinklig.

Beispiel 2

Gegegeben sind die Längen aller drei Seiten eines Dreiecks.

1. Seite: 12 cm

2. Seite: 13 cm

3. Seite: 5 cm

Überprüfe, ohne einen Winkel zu messen, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

Überlegung: Wenn das Dreieck rechtwinklig wäre, dann müsste der Satz des Pythagoras gelten. Wir setzen also die gegebenen Werte in die Formel ein und betrachten dann, was dabei herauskommt.

Damit du die Werte richtig in die Formel einsetzt, musst du daran denken, dass die beiden kürzeren Seiten die Katheten sind.

Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, so gilt:

\(5^2 + 12^2 = 13^2\)

\(25 + 144 = 169\)

\(169 = 169\)

Da der Satz des Pythagoras zu einem wahren Ergebnis führt, ist das Dreieck rechtwinklig.

Mehr zum Thema Dreiecke

Wenn du dich ausführlicher mit Dreiecken beschäftigen möchtest, so empfehlen wir dir, die folgenden Kapitel nacheinander durchzuarbeiten.

Dreiecke (Hauptkapitel)  
Einteilung nach Seitenlängen  
Unregelmäßiges Dreieck  
Gleichschenkliges Dreieck  
Gleichseitiges Dreieck  
Einteilung nach Winkeln  
Spitzwinkliges Dreieck \(\alpha, \beta, \gamma < 90°\)
Rechtwinkliges Dreieck \(\gamma = 90°\)
Stumpfwinkliges Dreieck \(\gamma > 90°\)
Satzgruppe des Pythagoras  
Satz des Pythagoras \(a^2 + b^2 = c^2\)
Kathetensatz \(a^2 = c \cdot p\)

\(b^2 = c \cdot q\)

Höhensatz \(h^2 = p \cdot q\)

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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