Satz von Bayes

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Satz von Bayes besagt.

Notwendiges Vorwissen

> Bedingte Wahrscheinlichkeit

Problemstellung

Wir betrachten ein zweistufiges Zufallsexperiment mit zwei Ereignissen \(A\) und \(B\).

Gegeben: \(P_A(B)\)

Gegeben ist die Wahrscheinlichkeit von \(B\)
unter der Bedingung, dass \(A\) eingetreten ist.

Gesucht: \(P_B(A)\)

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von \(A\)
unter der Bedingung, dass \(B\) eingetreten ist.

Der Satz von Bayes erlaubt das Umkehren von Schlussfolgerungen:
Man geht von einem bekannten Wert \(P_A(B)\) aus, mit dessen Hilfe man \(P_B(A)\) berechnet.

Satz von Bayes - Herleitung

Um die Formel für die Berechnung von \(P_A(B)\) aus \(P_B(A)\) zu erhalten, müssen wir zwei Baumdiagramme mit unterschiedlichem Ablauf miteinander verknüpfen.

Nach dem Multiplikationssatz gilt:
\(P(A \cap B) = P(B) \cdot P_B(A)\)

Gleichung nach \(P_B(A)\) auflösen:
\[P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]

VORSICHT!
Bei diesem Baumdiagramm ist der Ablauf
(im Vergleich zum ersten Baumdiagramm)
vertauscht.

Nach dem Multiplikationssatz gilt:
\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B)\)

Wir ersetzen \(P(A \cap B)\) aus der Formel der 1. Abbildung

\[P_B(A) = \frac{{\colorbox{yellow}{\(P(A \cap B)\)}}}{P(B)}\]

mit dem \(P(A \cap B)\) aus der 2. Abbildung

\({\colorbox{yellow}{\(P(A \cap B)\)}} = {\colorbox{orange}{\(P(A) \cdot P_A(B)\)}}\)

und erhalten den Satz von Bayes

\[P_B(A) = \frac{{\colorbox{orange}{\(P(A) \cdot P_A(B)\)}}}{P(B)}\]

Den Zähler des Bruchs können wir noch umschreiben.
Dazu brauchen wir den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit.

Satz von Bayes

\[P_B(A) = \frac{P(A) \cdot P_A(B)}{P(B)} = \frac{P(A) \cdot P_A(B)}{P(A) \cdot P_A(B) + P(\bar{A}) \cdot P_{\bar{A}}(B)}\]

Satz von Bayes - Beispiel

Eine Schülerin fährt in 70% der Schultage mit dem Bus.
In 80% dieser Fälle kommt sie pünktlich zur Schule.
Durchschnittlich kommt sie aber nur an 60% der Schultage pünktlich an.

Heute kommt die Schülerin pünktlich zur Schule.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat sie den Bus benutzt?

Für die Ereignisse werden folgende Bezeichnungen gewählt:
\(A\): „Die Schülerin fährt mit dem Bus.“
\(B\): „Die Schülerin kommt pünktlich an.“

Demnach gilt:
\(\bar{A}\): „Die Schülerin fährt nicht mit dem Bus.“
\(\bar{B}\): „Die Schülerin kommt nicht pünktlich an.“

Die Aufgabe lässt sich in einem Baumdiagramm wunderbar veranschaulichen.

Eine Schülerin fährt zu 70% mit dem Bus.
\(\Rightarrow P(A) = 0,7\)

In 80% dieser Fälle kommt sie pünktlich.
\(\Rightarrow P_A(B) = 0,8\)

Durchschnittlich kommt sie zu 60% pünktlich.
\(\Rightarrow P(B) = 0,6\)

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für BUS unter der Bedingung PÜNKTLICH: \(P_B(A)\).

Da \(P_A(B)\) gegeben und \(P_B(A)\) gesucht ist, lösen wir die Aufgabe mit dem Satz von Bayes:

\[P_B(A) = \frac{P(A) \cdot P_A(B)}{P(B)} = \frac{0,7 \cdot 0,8}{0,6} = 0,9\bar{3} \approx 93,33\%\]

Aus der gegebenen Information
Zu 80% ist die Schülerin pünktlich, wenn sie mit dem Bus gekommen ist = \(P_A(B)\)
haben wir mit Hilfe des Satzes von Bayes folgende Information gewonnen
Zu 93,33% ist die Schülerin mit dem Bus gekommen, wenn sie pünktlich ist = \(P_B(A)\)

Wir merken uns: Der Satz von Bayes erlaubt die Umkehrung von Schlussfolgerungen.

Mehr zur bedingten Wahrscheinlichkeit

Aus der bedingten Wahrscheinlichkeit ergeben sich eine Vielzahl interessanter Sätze:

  Was ist gesucht? Beispiel
Multiplikationssatz Elementarereignis \(P(A \cap B)\)
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Ereignis \(P(A)\)
Satz von Bayes Umgekehrte Schlussfolgerung \(P_A(B) \rightarrow P_B(A)\)

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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