Satz von Bayes

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Satz von Bayes besagt.

Notwendiges Vorwissen

> Bedingte Wahrscheinlichkeit

Problemstellung

Wir betrachten ein zweistufiges Zufallsexperiment mit zwei Ereignissen \(A\) und \(B\).

Gegeben: \(P_A(B)\)

Gegeben ist die Wahrscheinlichkeit von \(B\)
unter der Bedingung, dass \(A\) eingetreten ist.

Gesucht: \(P_B(A)\)

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von \(A\)
unter der Bedingung, dass \(B\) eingetreten ist.

Der Satz von Bayes erlaubt das Umkehren von Schlussfolgerungen:
Man geht von einem bekannten Wert \(P_A(B)\) aus, mit dessen Hilfe man \(P_B(A)\) berechnet.

Satz von Bayes - Herleitung

Um die Formel für die Berechnung von \(P_A(B)\) aus \(P_B(A)\) zu erhalten, müssen wir zwei Baumdiagramme mit unterschiedlichem Ablauf miteinander verknüpfen.

Nach dem Multiplikationssatz gilt:
\(P(A \cap B) = P(B) \cdot P_B(A)\)

Gleichung nach \(P_B(A)\) auflösen:
\[P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]

VORSICHT!
Bei diesem Baumdiagramm ist der Ablauf
(im Vergleich zum ersten Baumdiagramm)
vertauscht.

Nach dem Multiplikationssatz gilt:
\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B)\)

Wir ersetzen \(P(A \cap B)\) aus der Formel der 1. Abbildung

\[P_B(A) = \frac{{\colorbox{yellow}{\(P(A \cap B)\)}}}{P(B)}\]

mit dem \(P(A \cap B)\) aus der 2. Abbildung

\({\colorbox{yellow}{\(P(A \cap B)\)}} = {\colorbox{orange}{\(P(A) \cdot P_A(B)\)}}\)

und erhalten den Satz von Bayes

\[P_B(A) = \frac{{\colorbox{orange}{\(P(A) \cdot P_A(B)\)}}}{P(B)}\]

Den Zähler des Bruchs können wir noch umschreiben.
Dazu brauchen wir den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit.

Satz von Bayes

\[P_B(A) = \frac{P(A) \cdot P_A(B)}{P(B)} = \frac{P(A) \cdot P_A(B)}{P(A) \cdot P_A(B) + P(\bar{A}) \cdot P_{\bar{A}}(B)}\]

Satz von Bayes - Beispiel

Eine Schülerin fährt in 70% der Schultage mit dem Bus.
In 80% dieser Fälle kommt sie pünktlich zur Schule.
Durchschnittlich kommt sie aber nur an 60% der Schultage pünktlich an.

Heute kommt die Schülerin pünktlich zur Schule.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat sie den Bus benutzt?

Für die Ereignisse werden folgende Bezeichnungen gewählt:
\(A\): „Die Schülerin fährt mit dem Bus.“
\(B\): „Die Schülerin kommt pünktlich an.“

Demnach gilt:
\(\bar{A}\): „Die Schülerin fährt nicht mit dem Bus.“
\(\bar{B}\): „Die Schülerin kommt nicht pünktlich an.“

Die Aufgabe lässt sich in einem Baumdiagramm wunderbar veranschaulichen.

Eine Schülerin fährt zu 70% mit dem Bus.
\(\Rightarrow P(A) = 0,7\)

In 80% dieser Fälle kommt sie pünktlich.
\(\Rightarrow P_A(B) = 0,8\)

Durchschnittlich kommt sie zu 60% pünktlich.
\(\Rightarrow P(B) = 0,6\)

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für BUS unter der Bedingung PÜNKTLICH: \(P_B(A)\).

Da \(P_A(B)\) gegeben und \(P_B(A)\) gesucht ist, lösen wir die Aufgabe mit dem Satz von Bayes:

\[P_B(A) = \frac{P(A) \cdot P_A(B)}{P(B)} = \frac{0,7 \cdot 0,8}{0,6} = 0,9\bar{3} \approx 93,33\%\]

Aus der gegebenen Information
Zu 80% ist die Schülerin pünktlich, wenn sie mit dem Bus gekommen ist = \(P_A(B)\)
haben wir mit Hilfe des Satzes von Bayes folgende Information gewonnen
Zu 93,33% ist die Schülerin mit dem Bus gekommen, wenn sie pünktlich ist = \(P_B(A)\)

Wir merken uns: Der Satz von Bayes erlaubt die Umkehrung von Schlussfolgerungen.

Mehr zur bedingten Wahrscheinlichkeit

Aus der bedingten Wahrscheinlichkeit ergeben sich eine Vielzahl interessanter Sätze:

  Was ist gesucht? Beispiel
Multiplikationssatz Elementarereignis \(P(A \cap B)\)
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Ereignis \(P(A)\)
Satz von Bayes Umgekehrte Schlussfolgerung \(P_A(B) \rightarrow P_B(A)\)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!