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Scheitelpunktform

In diesem Kapitel besprechen wir die Scheitelpunktform. Dabei geht es um folgende Fragen:

  • Was versteht man unter der Scheitelpunktform?
  • Wie berechnet man die Scheitelpunktform, wenn die quadratische Funktion in allgemeiner Form gegeben ist?
  • Wie gelangt man von der Scheitelpunktform wieder in die allgemeine Form?

Wiederholung: Scheitelpunkt

Der Scheitelpunkt ist der höchste bzw. tiefste Punkt einer Parabel.

Ist die Parabel nach oben geöffnet, so ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt der Funktion.

Statt vom tiefsten Punkt spricht man auch vom Minimum der Funktion.

Ist die Parabel nach unten geöffnet, so ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt der Funktion.

Statt vom höchsten Punkt spricht man auch vom Maximum der Funktion.

Was ist die Scheitelpunktform?

Unter der Scheitelpunktform (auch: Scheitelform) versteht man eine bestimmte Form einer quadratischen Gleichung, aus der man den Scheitelpunkt direkt ablesen kann.

Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet

\(f(x) = ax^2 + bx +c\)

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lautet

\(f(x) = a(x-{\color{red}d})^2+{\color{blue}e}\)

Die Koordinaten des Scheitelpunktes lassen sich in dieser Form leicht ablesen:

S(\({\color{red}d}|{\color{blue}e}\))

Beispiel

Gegeben ist eine quadratische Gleichung in Scheitelpunktform

\(f(x) = -2(x-{\color{red}2})^2+{\color{blue}3}\)

Der Scheitelpunkt der Parabel ist demnach: S(\({\color{red}2}|{\color{blue}3}\)).

Im Koordinatensystem ist die quadratische Funktion \(f(x) = -2(x-2)^2+3\) eingezeichnet. Der Scheitelpunkt S(2|3) ist farblich hervorgehoben.

Scheitelpunktform berechnen

In den folgenden Beispielen wird vorausgesetzt, dass du die quadratische Ergänzung bereits kennst und richtig anwenden kannst. Sollte das nicht der Fall sein, empfehlen wir dir, zunächst den entsprechenden Artikel durchzulesen.

Wiederholung: Quadratische Ergänzung

Ist ein Term in der Form

\(f(x) = x^2 + px\)

gegeben, so lautet die Formel für die quadratische Ergänzung

\(f(x) = x^2 + px +\left(\frac{p}{2}\right)^2 -\left(\frac{p}{2}\right)^2 = \left(x+ \frac{p}{2}\right)^2 -\left(\frac{p}{2}\right)^2\)

Mehr zu diesem Thema erfährst du im Artikel "Quadratische Ergänzung".

Es kommt häufig vor, dass die quadratische Funktion in allgemeiner Form gegeben ist und man die Scheitelpunktform berechnen soll. Welche Schritte sind notwendig, um die Scheitelpunktform zu berechnen?

Vorgehensweise

  1. Koeffizient von \(x^2\) aus \(x^2\) und \(x\) ausklammern
  2. Quadratische Ergänzung
  3. Negativen Term der quadratischen Ergänzung ausmultiplizieren
  4. Binomische Formel auf Klammer anwenden

Beispiel 1

Berechne die Scheitelpunktform der folgenden quadratischen Funktion

\(f(x) = 3x^2 + 6x + 7\)

1.) Koeffizient von \(x^2\) aus \(x^2\) und \(x\) ausklammern

\(f(x) = 3 \cdot (x^2 + 2x) + 7\)

2.) Quadratische Ergänzung

\(f(x) = 3 \cdot \left(x^2 + {\color{red}2}x + \left(\frac{{\color{red}2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{{\color{red}2}}{2}\right)^2\right) + 7\)

\(\phantom{f(x)} = 3 \cdot (x^2 + 2x {\color{blue}\:+\:1} {\color{blue}\:-\:1}) + 7\)

3.) Negativen Term der quadratischen Ergänzung ausmultiplizieren

\(f(x) = {\color{red}3} \cdot \left(x^2 + 2x + 1 {\color{red}\:-\:1}\right) + 7\)

\(\phantom{f(x)} = 3 \cdot \left(x^2 + 2x + 1\right) + 7 + {\color{red}3} \cdot ({\color{red}-1})\)

\(\phantom{f(x)} = 3 \cdot \left(x^2 + 2x + 1\right) + 7 - 3\)

4.) Binomische Formel auf Klammer anwenden

In diesem Fall wenden wir die 1. Binomische Formel an.

\(f(x) = 3 \cdot \left(x^2 + {\color{red}2}x + 1\right) + 4\)

\(\phantom{f(x)} = 3 \cdot \left(x+\frac{{\color{red}2}}{2}\right)^2 + 4\)

\(\phantom{f(x)} = 3 \cdot (x+1)^2 + 4\)

Beispiel 2

Berechne die Scheitelpunktform der folgenden quadratischen Funktion

\(f(x) = -2x^2 + 8x - 5\)

1.) Koeffizient von \(x^2\) aus \(x^2\) und \(x\) ausklammern

\(f(x) = -2 \cdot (x^2 - 4x) - 5\)

2.) Quadratische Ergänzung

\(f(x) = -2 \cdot \left(x^2 {\color{red}\:-\:4}x + \left(\frac{{\color{red}-4}}{2}\right)^2 - \left(\frac{{\color{red}-4}}{2}\right)^2\right) - 5\)

\(\phantom{f(x)} = -2 \cdot (x^2 - 4x {\color{blue}\:+\:4} {\color{blue}\:-\:4}) - 5\)

3.) Negativen Term der quadratischen Ergänzung ausmultiplizieren

\(f(x) = {\color{red}-2} \cdot \left(x^2 - 4x + 4 {\color{red}\:-\:4}\right) - 5\)

\(\phantom{f(x)} = -2 \cdot \left(x^2 - 4x + 4\right) - 5 {\color{red}\:-\:2} \cdot ({\color{red}-4})\)

\(\phantom{f(x)} = -2 \cdot \left(x^2 - 4x + 4\right) - 5 + 8\)

\(\phantom{f(x)} = -2 \cdot \left(x^2 - 4x + 4\right) + 3\)

4.) Binomische Formel auf Klammer anwenden

In diesem Fall wenden wir die 2. Binomische Formel an.

\(f(x) = -2 \cdot \left(x^2 {\color{red}\:-\:4}x + 4\right) + 3\)

\(\phantom{f(x)} = -2 \cdot \left(x+\frac{{\color{red}-4}}{2}\right)^2 + 3\)

\(\phantom{f(x)} = -2 \cdot (x-2)^2 + 3\)

Allgemeine Form berechnen

Ist die quadratische Funktion in Scheitelpunktform gegeben und möchte man die allgemeine Form berechnen, so muss man die binomische Formel anwenden.

Vorgehensweise

  1. Binomische Formel anwenden
  2. Ausmultiplizieren
  3. Zusammenfassen

Beispiel 1

Berechne die allgemeine Form der folgenden quadratischen Funktion

\(f(x) = 3(x+1)^2 + 4\)

1.) Binomische Formel anwenden

In diesem Fall wenden wir die 1. Binomische Formel an.

\(f(x) = 3{\color{red}(x+1)^2} + 4\)

\(\phantom{f(x)} = 3({\color{red}x^2+2x+1}) + 4\)

2.) Ausmultiplizieren

\(f(x) = 3x^2 + 6x + 3 + 4\)

3.) Zusammenfassen

\(f(x) = 3x^2 + 6x + 7\)

Beispiel 2

Berechne die allgemeine Form der folgenden quadratischen Funktion

\(f(x) = -2(x-2)^2 + 3\)

1.) Binomische Formel anwenden

In diesem Fall wenden wir die 2. Binomische Formel an.

\(f(x) = -2{\color{red}(x-2)^2} + 3\)

\(\phantom{f(x)} = -2({\color{red}x^2-4x+4}) + 3\)

2.) Ausmultiplizieren

\(f(x) = -2x^2 + 8x -8 + 3\)

3.) Zusammenfassen

\(f(x) = -2x^2 + 8x - 5\)

Zusammenfassung

Du solltest dir unbedingt merken, dass du die quadratische Ergänzung anwenden musst, wenn du von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform willst. Im umgekehrten Fall musst du die binomische Formel anwenden.

\(ax^2 + bx + c \quad \underrightarrow{\text{Quadratische Ergänzung}} \quad a(x-d)^2+e\)

\(a(x-d)^2+e \quad \underrightarrow{\text{Binomische Formel}} \quad ax^2 + bx + c\)

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Mehr zu quadratischen Funktionen

Im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen gibt es einige Fragestellungen, die in Prüfungen immer wieder abgefragt werden. Aus diesem Grund empfiehlt es sich, die nachfolgenden Kapitel systematisch durchzuarbeiten. Viel Erfolg dabei!

Parabel zeichnen  
Parabel nach links oder rechts verschieben \(f(x) = (x-d)^2\)
Parabel nach oben oder unten verschieben \(f(x) = x^2 + c\)
Parabel strecken oder stauchen \(f(x) = ax^2\)
Punktprobe Liegt \(\text{P}\) auf \(\text{G}_f\)?
y-Achsenabschnitt berechnen \(x = 0\)
Nullstellen berechnen \(y = 0\)
Funktionsgleichung bestimmen \(f(x) = \dotsc\)
Quadratische Ergänzung \(x^2 +px + \left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2\)
Scheitelpunktform berechnen \(f(x) = a(x-d)^2 + e\)
Scheitelpunkt berechnen \(S(x_s|y_s)\)
Faktorisierte Form \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)
Lagebeziehungen  
Lagebeziehung Parabel-Parabel  
Lagebeziehung Parabel-Gerade  
Umkehrfunktion  
Umkehrfunktion bilden  
Aufgaben mit Lösungen  
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Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!