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Schnittpunkt zweier Geraden

In diesem Kapitel besprechen wir, wie man den Schnittpunkt zweier Geraden berechnet. Dabei sind die beiden Geraden in Parameterform gegeben.

Wiederholung: Lagebeziehungen von Geraden

Wie wir im Kapitel "Lagebeziehungen von Geraden" bereits gelernt haben, gibt es vier mögliche Lagen zweier Geraden:

Wenn sich zwei Geraden schneiden, kann man einen Schnittpunkt sowie einen Schnittwinkel berechnen.

Prüfen, ob sich die Geraden schneiden

Gegeben sind die beiden Geraden

\[\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\]

\[\text{h: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\]

1.) Richtungsvektoren auf Kollinearität prüfen

Im ersten Schritt untersuchen wir, ob die Richtungsvektoren der beiden Geraden kollinear, d.h. Vielfache voneinander, sind. Dazu überprüfen wir, ob es eine Zahl \(r\) gibt, mit der multipliziert der Richtungsvektor der zweiten Geraden zum Richtungsvektor der ersten Geraden wird.

\[\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\]

Im Folgenden berechnen wir zeilenweise den Wert von \(r\):

\[\begin{align*}
2 &= r \cdot (-1) \qquad &\rightarrow \qquad r = -2 \\
2 &= r \cdot (-1) \qquad &\rightarrow \qquad r = -2 \\
1 &= r \cdot 1 \qquad &\rightarrow \qquad r = 1
\end{align*}\]

Wenn \(r\) in allen Zeilen den gleichen Wert annimmt, sind die Richtungsvektoren kollinear. Dies ist hier nicht der Fall! Folglich handelt es sich entweder um zwei sich schneidende Geraden oder um windschiefe Geraden. Um das herauszufinden, überprüfen wir rechnerisch, ob ein Schnittpunkt existiert.

2.) Auf Schnittpunkt prüfen

Vorgehensweise

  1. Geradengleichungen gleichsetzen
  2. Parameter \(\lambda\) und \(\mu\) durch das Additionsverfahren berechnen
  3. Berechnete Parameter in die verbleibende Gleichung einsetzen

Es empfiehlt sich, an dieser Stelle noch einmal das Additionsverfahren zu wiederholen.

  • Schritt 1: Geradengleichungen gleichsetzen

\[\vec{a} + \lambda \cdot \vec{u} = \vec{b} + \mu \cdot \vec{v}\]

\[\begin{align*}
-3 + 2\lambda &= 4 - \mu \tag{1. Zeile} \\
-4 + 2\lambda &= 3 - \mu \tag{2. Zeile} \\
-1 + \lambda &= 1 + \mu \tag{3. Zeile}
\end{align*}\]

  • Schritt 2: Parameter \(\lambda\) und \(\mu\) durch das Additionsverfahren berechnen

Zum Berechnen der beiden Parameter braucht man nur zwei Zeilen (2 Gleichungen mit 2 Unbekannten). Die verbleibende dritte Zeile dient im 3. Schritt dazu, die Existenz eines Schnittpunktes ggf. zu bestätigen.

Wir addieren die 2. mit der 3. Zeile, damit \(\mu\) wegfällt...

\[-5 + 3\lambda = 4 \qquad \rightarrow \qquad \lambda = 3 \tag{2. Zeile + 3. Zeile}\]

...auf diese Weise können wir \(\lambda\) berechnen.

Danach setzen wir \(\lambda = 3\) in die 3. Zeile ein, um \(\mu\) zu berechnen.

\[-1 + 3 = 1 + \mu \qquad \rightarrow \qquad \mu = 1 \tag{3. Zeile mit \(\lambda = 3\)}\]

  • Schritt 3: Berechnete Parameter in die verbleibende Gleichung einsetzen

Die beiden Parameter haben wir mit Hilfe der 2. und der 3. Zeile berechnet. Zur Überprüfung der Existenz eines Schnittpunktes bleibt demnach die 1. Zeile übrig. In diese setzen wir die berechneten Parameter ein.

\[-3 + 6 = 4 - 1 \qquad \rightarrow \qquad 3=3 \tag{1. Zeile mit \(\lambda = 3\) und \(\mu = 1\)}\]

  • Schritt 4: Überprüfen, ob es sich um eine wahre oder eine falsche Aussage handelt
  1. Ist die Aussage wahr, gibt es einen Schnittpunkt.
  2. Ist die Aussage falsch, sind die Geraden windschief.

Fazit

Da es sich in unserem Beispiel um eine wahre Aussage (3 = 3) handelt, gibt es einen Schnittpunkt. Daraus folgt, dass es sich um zwei sich schneidende Geraden handelt.

Käme man an dieser Stelle zu einer falschen Aussage (z.B. 5 = 0), wären die Geraden windschief. Ein entsprechendes Beispiel findest du in dem Artikel zu den windschiefen Geraden.

Wie man die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden berechnet, erklären wir in dem folgenden Abschnitt.

Koordinaten des Schnittpunkts berechnen

Um die Koordinaten des Schnittpunkts zu berechnen, setzen wir den berechneten Wert für \(\lambda\) in die Geradengleichung der Geraden g ein:

\[\vec{s} = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}  \tag{Gerade g mit \(\lambda = 3\)}\]

\[\vec{s} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\]

Antwort: Der Schnittpunkt S hat die Koordinaten (3/2/2).

Hinweis: Alternativ könnte man \(\mu\) in die Geradengleichung der Geraden h einsetzen, um die Koordinaten des Schnittpunkts zu berechnen.

Mehr zum Thema Geraden

Im Folgenden findest du eine Übersicht über alle Artikel zum Thema Geraden in der analytischen Geometrie, die derzeit verfügbar sind.

Darstellung von Geraden  
Parameterform  
Zwei-Punkte-Form  
Einfache Anwendungen  
Punkt auf Gerade  
Spurpunkte  
Lagebeziehungen von Geraden  
Einführung in die Lagebeziehungen  
> Identische Geraden  
> Echt parallele Geraden  
> Windschiefe Geraden  
> Sich schneidende Geraden  
>> Schnittpunkt zweier Geraden  
>> Schnittwinkel zweier Geraden  

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

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