Sekantensteigung

In diesem Kapitel besprechen wir, wie man die Sekantensteigung berechnet.

Es empfiehlt sich, zunächst den Artikel zum Differenzenquotienten zu lesen.

Eine Sekante ist eine Gerade, die durch zwei Punkte einer Kurve geht.

Wie kann man sich eine Sekante graphisch vorstellen?

Gegeben ist eine beliebige Kurve.

Wir wählen zwei Punkte auf der Kurve aus.

Jetzt ziehen wir durch diese beiden Punkte eine Gerade.

Die Gerade ist in diesem Fall eine Sekante, da sie durch zwei Punkte einer Kurve geht.

Die Formel für die Sekantensteigung erhalten wir über das Steigungsdreieck, dem wir zum ersten Mal bei der Berechnung der Steigung einer linearen Funktion begegnet sind.

Für die Sekantensteigung \(m\) gilt folglich: \[m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}\] Dabei ist \(m\) die Steigung der Sekante, die durch die Punkte \(\text{P}_0(x_0|y_0)\) und \(\text{P}_1(x_1|y_1)\) verläuft.

Sekantensteigung berechnen - Beispiel 1

Gegeben sind die Funktion \(f(x) = x^2\) und die beiden Punkte \(\text{P}_0(2|4)\) und \(\text{P}_1(3|9)\).

Berechne die Sekantensteigung.

Lösung

\[m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}\]

\[m = \frac{9 - 4}{3 - 2}  = \frac{5}{1} = 5\]

Die Sekantensteigung ist \(m = 5\).

Sekantensteigung berechnen - Beispiel 2

Gegeben sind die Funktion \(f(x) = x^3\) und die beiden Punkte \(\text{P}_0(2|8)\) und \(\text{P}_1(4|64)\).

Berechne die Sekantensteigung.

Lösung

\[m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}\]

\[m = \frac{64 - 8}{4 - 2}  = \frac{56}{2} = 28\]

Die Sekantensteigung ist \(m = 28\).

Schreibweisen der Sekantensteigung

Leider sind für die Formel zur Berechnung der Sekantensteigung verschiedene Schreibweisen verbreitet. Davon darf man sich nicht verunsichern lassen. Im Folgenden werden einige dieser Schreibweisen erwähnt:

\[\begin{align*}
m &= \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = \frac{\Delta y}{\Delta x} \\ \\
& = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{(x_0 + \Delta x) - x_0} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \\ \\
&= \frac{f(x + h) - f(x)}{h}
\end{align*}\]

Mehr zu den verschiedenen Schreibweisen erfährst du im Artikel zum Differenzenquotient.

Mehr zum Thema Differentialrechnung

Im Zusammenhang mit der Differentialrechnung gibt es einige interessante Themen:

Steigung einer linearen Funktion
(Geradensteigung)

\[m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = \frac{\Delta y}{\Delta x}\]

Differenzenquotient
(Sekantensteigung)

\[m = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} = \frac{\Delta y}{\Delta x}\]

Differentialquotient
(Tangentensteigung)
\[m = \lim_{x_1 \to x_0} \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\]
h-Methode
(Ableitungsfunktion)
\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\]

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!