Senkrechte Asymptote

In diesem Kapitel besprechen wir, was eine senkrechte Asymptote ist.

Zuerst definieren wir den Begriff Asymptote.

Eine Asymptote ist eine Funktion, der sich eine andere Funktion bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung unbegrenzt nähert.

Welche Arten von Asymptoten gibt es?

  • senkrechte Asymptote
  • waagrechte Asymptote
  • schiefe Asymptote
  • asymptotische Kurve

Zu jedem dieser vier Fälle schauen wir uns ein grapisches Beispiel an.

a) Senkrechte Asymptote

Die Gerade, der sich die Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung nähert, verläuft senkrecht (siehe rote Linie).

b) Waagrechte Asymptote

Die Gerade, der sich die Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung nähert, verläuft waagrecht (siehe rote Linie).

c) Schiefe Asymptote

Die Gerade, der sich die Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung nähert, verläuft schief (siehe rote Linie).

d) Asymptotische Kurve

Kurve, der sich eine andere Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung nähert (siehe rote Kurve).

Mit diesem Wissen können wir eine senkrechte Asymptote definieren:

Eine senkrechte Asymptote ist eine senkrechte Gerade, der sich eine Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung unbegrenzt nähert.

Senkrechte Asymptote berechnen

Eine gebrochenrationale Funktion

\[y = \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_ 0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_ 0}\]

besitzt eine senkrechte Asymptote, wenn...

  • der Nenner gleich Null wird

Hinweis: Die Nullstellen des Nenners entsprechen den Definitionslücken.

Vorgehensweise zur Berechnung einer senkrechten Asymptote

> Nullstellen des Nenners berechnen

Beispiel

Wir betrachten die Funktion

\[f(x) = \frac{1}{x-1}\]

1.) Nullstellen des Nenners berechnen

Die Nullstelle des Nenners berechnen wir, indem wir den Nenner des Bruchs nehmen und ihn gleich Null setzen

\(x-1 = 0 \qquad \rightarrow \quad x = 1\)

Durch \(x = 1\) verläuft die senkrechte Asymptote.

Graphik zum Beispiel

Mehr zu gebrochenrationalen Funktionen

Im Zusammenhang mit gebrochenrationalen Funktionen gibt es bestimmte Fragestellungen, die in Prüfungen immer wieder abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die nachfolgenden Kapitel systematisch durchzuarbeiten.

  Kriterium
Zählergrad bestimmen Höchste Potenz im Zähler
Nennergrad bestimmen Höchste Potenz im Nenner
Asymptoten berechnen  
> Senkrechte Asymptote Nullstelle des Nenners (= Definitionslücke)
> Waagrechte Asymptote Zählergrad < Nennergrad
                oder
Zählergrad = Nennergrad
> Schiefe Asymptote Zählergrad = Nennergrad + 1
> Asymptotische Kurve Zählergrad > Nennergrad + 1
Nullstellen berechnen \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad P(x_0) = 0 \text{ und } Q(x_0) \neq 0\)
Polstelle \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad Q(x_0) = 0 \text{ und } P(x_0) \neq 0\)
Hebbare Definitionslücke \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad Q(x_0) = 0 \text{ und } P(x_0) = 0\)
Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion  
Partialbruchzerlegung  

Vergewissere dich, dass du sowohl graphisch als auch rechnerisch die Begriffe "Nullstelle", "Definitionslücke", "Polstelle" und "Hebbare Definitionslücke" voneinander abgrenzen kannst. Auch den Unterschied zwischen einer Polstelle und einer waagrechten Asymptote solltest du dir bewusst machen. All das wird in den obigen Artikeln ausführlich besprochen.

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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