Sinusfunktion

In diesem Kapitel schauen wir uns die Sinusfunktion etwas genauer an.

Notwendiges Vorwissen: Sinus

Die Sinusfunktion ist eine Funktion,
die jedem \(x \in \mathbb{D}\) seinen Sinuswert \(y\) zuordnet:

\(y = \sin(x) \quad \text{mit } \mathbb{D} =\mathbb{R}\)

Die Sinusfunktion gehört zu den trigonometrischen Funktionen.

Graph der Sinusfunktion

Der Graph der Sinusfunktion heißt Sinuskurve.

Um die Sinusfunktion sauber zu zeichnen, legen wir zunächst eine Wertetabelle an:

\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & 0° & 30° & 45° & 60° & 90° & 120° & 135° & 150° & 180°\\
 & {\color{gray}0} & {\color{gray}\frac{\pi}{6}} & {\color{gray}\frac{\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{\pi}{2}} & {\color{gray}\frac{2\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{3\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{5\pi}{6}} & {\color{gray}\pi} \\
\hline
\sin(x) & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0
\end{array}

Die obige Tabelle zeigt, dass es rechnerisch keinen Unterschied macht, ob die Argumente (\(x\)-Werte) der Funktion im Gradmaß oder im Bogenmaß vorliegen. Zur Darstellung von trigonometrischen Funktionen in einem Koordinatensystem ist es allerdings üblich, das Bogenmaß zu verwenden. Zur Erinnerung: \(360°\) (Gradmaß) entsprechen \(2\pi\) (Bogenmaß).

Zum Zeichnen sind insbesondere folgende Punkte von Bedeutung:

\begin{array}{r|c|c|c|c|c}
x & 0° & 90° & 180° & 270° & 360°\\
 & {\color{gray}0} & {\color{gray}\frac{\pi}{2}} & {\color{gray}\pi} & {\color{gray}\frac{3\pi}{2}} & {\color{gray}2\pi} \\
\hline
\sin(x) & 0 & 1 & 0 & -1 & 0
\end{array}


Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion
\[y = \sin(x)\]

Eigenschaften der Sinusfunktion

Die Sinusfunktion besitzt einige interessante Eigenschaften, die wir im Folgenden betrachten:


Definitionsmenge

\(\mathbb{D} = \mathbb{R}\)

Wertemenge

\(\mathbb{W} = [-1;1]\)

Periode

\(\sin(x + 2\pi) = \sin(x)\)

Die Sinusfunktion ist periodisch,
d. h. ihre Funktionswerte wiederholen
sich in regelmäßigen Abständen (\(2\pi\)).

Symmetrie

\(\sin(-x) = -\sin(x)\)
Punktssymmetrie zum Koordinatenursprung

Nullstellen

\(x_k = k \cdot \pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z}\)

Beispiele
\(\begin{align*} x_{-1} &= (-1) \cdot \pi = -\pi\\[5pt] x_{0} &= 0 \cdot \pi = 0\\[5pt] x_{1} &= 1 \cdot \pi = \pi\\[5pt] x_{2} &= 2 \cdot \pi = 2\pi\\[5pt] x_{3} &= 3 \cdot \pi = 3\pi \end{align*}\)

Relative Maxima

\(x_k = \frac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z}\)

Beispiele
\(\begin{align*} x_{-1} &= \frac{\pi}{2} + (-1) \cdot 2\pi = -\frac{3\pi}{2}\\[5pt] x_{0} &= \frac{\pi}{2} + 0 \cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}\\[5pt] x_{1} &= \frac{\pi}{2} + 1 \cdot 2\pi = \frac{5\pi}{2} \end{align*}\)

Relative Minima

\(x_k = \frac{3\pi}{2} + k \cdot 2\pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z}\)

Beispiele
\(\begin{align*} x_{-1} &= \frac{3\pi}{2} + (-1) \cdot 2\pi = -\frac{\pi}{2}\\[5pt] x_{0} &= \frac{3\pi}{2} + 0 \cdot 2\pi = \frac{3\pi}{2}\\[5pt] x_{1} &= \frac{3\pi}{2} + 1 \cdot 2\pi = \frac{7\pi}{2} \end{align*}\)

Zusammenhang mit Kosinuskurve

Die Sinuskurve geht aus der Kosinuskurve durch Verabschiebung um \(\frac{\pi}{2}\) nach rechts hervor. Mathematisch bedeutet das:

\(\sin(x) = \cos(x - \frac{\pi}{2})\)

Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften

Funktionsgleichung \(y = \sin(x)\)  
Definitionsmenge \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\)  
Wertemenge \(\mathbb{W} = [-1;1]\)  
Periode \(2\pi\)  
Symmetrie
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung  
Nullstellen \(x_k = k \cdot \pi\) \(k \in \mathbb{Z}\)
Relative Maxima
\(x_k = \frac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi\)  
Relative Minima
\(x_k = \frac{3\pi}{2} + k \cdot 2\pi\)  

Die Sinuskurve geht aus der Kosinuskurve durch Verabschiebung um \(\frac{\pi}{2}\) nach rechts hervor.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!