Sinusfunktion

In diesem Kapitel schauen wir uns die Sinusfunktion etwas genauer an.

Notwendiges Vorwissen: Sinus

Die Sinusfunktion ist eine Funktion,
die jedem \(x \in \mathbb{D}\) seinen Sinuswert \(y\) zuordnet:

\(y = \sin(x) \quad \text{mit } \mathbb{D} =\mathbb{R}\)

Die Sinusfunktion gehört zu den trigonometrischen Funktionen.

Graph der Sinusfunktion

Der Graph der Sinusfunktion heißt Sinuskurve.

Um die Sinusfunktion sauber zu zeichnen, legen wir zunächst eine Wertetabelle an:

\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & 0° & 30° & 45° & 60° & 90° & 120° & 135° & 150° & 180°\\
 & {\color{gray}0} & {\color{gray}\frac{\pi}{6}} & {\color{gray}\frac{\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{\pi}{2}} & {\color{gray}\frac{2\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{3\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{5\pi}{6}} & {\color{gray}\pi} \\
\hline
\sin(x) & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0
\end{array}

Die obige Tabelle zeigt, dass es rechnerisch keinen Unterschied macht, ob die Argumente (\(x\)-Werte) der Funktion im Gradmaß oder im Bogenmaß vorliegen. Zur Darstellung von trigonometrischen Funktionen in einem Koordinatensystem ist es allerdings üblich, das Bogenmaß zu verwenden. Zur Erinnerung: \(360°\) (Gradmaß) entsprechen \(2\pi\) (Bogenmaß).

Zum Zeichnen sind insbesondere folgende Punkte von Bedeutung:

\begin{array}{r|c|c|c|c|c}
x & 0° & 90° & 180° & 270° & 360°\\
 & {\color{gray}0} & {\color{gray}\frac{\pi}{2}} & {\color{gray}\pi} & {\color{gray}\frac{3\pi}{2}} & {\color{gray}2\pi} \\
\hline
\sin(x) & 0 & 1 & 0 & -1 & 0
\end{array}


Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion
\[y = \sin(x)\]

Eigenschaften der Sinusfunktion

Die Sinusfunktion besitzt einige interessante Eigenschaften, die wir im Folgenden betrachten:


Definitionsmenge

\(\mathbb{D} = \mathbb{R}\)

Wertemenge

\(\mathbb{W} = [-1;1]\)

Periode

\(\sin(x + 2\pi) = \sin(x)\)

Die Sinusfunktion ist periodisch,
d. h. ihre Funktionswerte wiederholen
sich in regelmäßigen Abständen (\(2\pi\)).

Symmetrie

\(\sin(-x) = -\sin(x)\)
Punktssymmetrie zum Koordinatenursprung

Nullstellen

\(x_k = k \cdot \pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z}\)

Beispiele
\(\begin{align*} x_{-1} &= (-1) \cdot \pi = -\pi\\[5pt] x_{0} &= 0 \cdot \pi = 0\\[5pt] x_{1} &= 1 \cdot \pi = \pi\\[5pt] x_{2} &= 2 \cdot \pi = 2\pi\\[5pt] x_{3} &= 3 \cdot \pi = 3\pi \end{align*}\)

Relative Maxima

\(x_k = \frac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z}\)

Beispiele
\(\begin{align*} x_{-1} &= \frac{\pi}{2} + (-1) \cdot 2\pi = -\frac{3\pi}{2}\\[5pt] x_{0} &= \frac{\pi}{2} + 0 \cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}\\[5pt] x_{1} &= \frac{\pi}{2} + 1 \cdot 2\pi = \frac{5\pi}{2} \end{align*}\)

Relative Minima

\(x_k = \frac{3\pi}{2} + k \cdot 2\pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z}\)

Beispiele
\(\begin{align*} x_{-1} &= \frac{3\pi}{2} + (-1) \cdot 2\pi = -\frac{\pi}{2}\\[5pt] x_{0} &= \frac{3\pi}{2} + 0 \cdot 2\pi = \frac{3\pi}{2}\\[5pt] x_{1} &= \frac{3\pi}{2} + 1 \cdot 2\pi = \frac{7\pi}{2} \end{align*}\)

Zusammenhang mit Kosinuskurve

Die Sinuskurve geht aus der Kosinuskurve durch Verabschiebung um \(\frac{\pi}{2}\) nach rechts hervor. Mathematisch bedeutet das:

\(\sin(x) = \cos(x - \frac{\pi}{2})\)

Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften

Funktionsgleichung \(y = \sin(x)\)  
Definitionsmenge \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\)  
Wertemenge \(\mathbb{W} = [-1;1]\)  
Periode \(2\pi\)  
Symmetrie
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung  
Nullstellen \(x_k = k \cdot \pi\) \(k \in \mathbb{Z}\)
Relative Maxima
\(x_k = \frac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi\)  
Relative Minima
\(x_k = \frac{3\pi}{2} + k \cdot 2\pi\)  

Die Sinuskurve geht aus der Kosinuskurve durch Verabschiebung um \(\frac{\pi}{2}\) nach rechts hervor.

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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