Skalarprodukt

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter dem Skalarprodukt versteht.

Das Skalarprodukt ist eine mathematische Verknüpfung,
die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet.

Einfacher gesagt:
Die Multiplikation zweier Vektoren (Skalarprodukt) ergibt eine reelle Zahl (Skalar).
Statt \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) verwendet man meist die Schreibweise \(\vec{a} \circ \vec{b}\).

Geometrische Berechnung
\[\vec{a} \circ \vec{b} = \left|\vec{a}\right| \left|\vec{b}\right| \text{ cos } \sphericalangle\left(\vec{a},\vec{b}\right)\]

Erklärung
1. \(\vec{a} \circ \vec{b}\): Skalarprodukt
2. \(\left|\vec{a}\right|\) und \(\left|\vec{b}\right|\): Längen der Vektoren
3. \(\text{ cos } \sphericalangle\left(\vec{a},\vec{b}\right)= \text{cos } \varphi\): Cosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels

Das war genug Theorie!

Es wird Zeit, dass wir uns anschauen, wie man das Skalarprodukt berechnet.

Skalarprodukt berechnen

Gegeben sind zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\).

\[\vec{a} \circ \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3\]

Das Skalarprodukt erhält man folglich, indem man die jeweiligen Komponenten multipliziert und anschließend addiert.

Wusstest du schon, dass du mit deinem Casio Taschenrechner
auch das Skalarprodukt berechnen kannst?

Beispiel 1

Gegeben sind zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\).

\[\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}; \qquad \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\]

Das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnet sich zu

\[\vec{a} \circ \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 + (-4) \cdot 2 + 0 \cdot 5 = 6 - 8 + 0 = -2\]

Das Skalarprodukt nimmt einen Wert von -2 an.

Beispiel 2

Gegeben sind zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\).

\[\vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}; \qquad \vec{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\]

Das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnet sich zu

\[\vec{a} \circ \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -2\end{pmatrix} = 4 \cdot (-2) + 5 \cdot 2 + (-3) \cdot (-2) = -8 + 10 + 6 = 8\]

Das Skalarprodukt nimmt einen Wert von 8 an.

Eigenschaften des Skalarprodukts

Kommutativgesetz \(\vec{a} \circ \vec{b} = \vec{b} \circ \vec{a}\)
Distributivgesetz \(\vec{a} \circ \left(\vec{b} + \vec{c}\right) = \vec{a} \circ \vec{b} + \vec{a} \circ \vec{c}\)
Gemischtes Assoziativgesetz \(\left(k \cdot \vec{a}\right) \circ \vec{b} = k \cdot \left(\vec{a} \circ \vec{b}\right)\)

Weitere Eigenschaften

\(\vec{a} \circ \vec{b} > 0\) \(\sphericalangle\left(\vec{a},\vec{b}\right)\) ist ein spitzer Winkel
\(\vec{a} \circ \vec{b} < 0\) \(\sphericalangle\left(\vec{a},\vec{b}\right)\) ist ein stumpfer Winkel
\(\vec{a} \circ \vec{b} = 0\) \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sind orthogonal (\(\varphi = 90°\))
\(\vec{a} \circ \vec{b} = \left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\) \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sind parallel und gleichorientiert (\(\varphi = 0°\))
\(\vec{a} \circ \vec{b} = -\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\) \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sind parallel und entgegengesetzt orientiert (\(\varphi = 180°\))
\(\vec{a} \circ \vec{a} = \left|\vec{a}\right|^2\) Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist das Quadrat seiner Länge

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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