Skalarprodukt
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter dem Skalarprodukt versteht.
Definition
Das Skalarprodukt ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet.
Einfacher gesagt: Die Multiplikation zweier Vektoren (Skalarprodukt) ergibt eine reelle Zahl (Skalar).
Statt $\vec{a} \cdot \vec{b}$ verwendet man meist die Schreibweise $\vec{a} \circ \vec{b}$.
Geometrische Berechnung
$$ \vec{a} \circ \vec{b} = \left|\vec{a}\right| \left|\vec{b}\right|\cos\sphericalangle\left(\vec{a},\vec{b}\right) $$
Erklärung
$\vec{a} \circ \vec{b}$: Skalarprodukt$\left|\vec{a}\right|$und$\left|\vec{b}\right|$: Längen der Vektoren$\cos\sphericalangle\left(\vec{a},\vec{b}\right)= \cos\varphi$: Cosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels
Skalarprodukt berechnen
Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist
$$ \vec{a} \circ \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 $$
Das Skalarprodukt erhält man folglich, indem man die jeweiligen Komponenten multipliziert und anschließend addiert.
Berechne das Skalarprodukt der Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$.
$$ \begin{align*} \vec{a} \circ \vec{b} &= \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \\[5px] &= 2 \cdot 3 + (-4) \cdot 2 + 0 \cdot 5 \\[5px] &= 6 - 8 + 0 \\[5px] &= -2 \end{align*} $$
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist $-2$.
Berechne das Skalarprodukt der Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$.
$$ \begin{align*} \vec{a} \circ \vec{b} &= \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \\[5px] &= 4 \cdot (-2) + 5 \cdot 2 + (-3) \cdot (-2) \\[5px] &= -8 + 10 + 6 \\[5px] &= 8 \end{align*} $$
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist $8$.
Rechengesetze und Eigenschaften
| Rechengesetze | |
| Kommutativgesetz | $\vec{a} \circ \vec{b} = \vec{b} \circ \vec{a}$ |
| Distributivgesetz | $\vec{a} \circ \left(\vec{b} + \vec{c}\right) = \vec{a} \circ \vec{b} + \vec{a} \circ \vec{c}$ |
| Gemischtes Assoziativgesetz | $\left(k \cdot \vec{a}\right) \circ \vec{b} = k \cdot \left(\vec{a} \circ \vec{b}\right)$ |
| Eigenschaften | |
$\vec{a} \circ \vec{b} > 0$ | $\sphericalangle\left(\vec{a},\vec{b}\right)$ ist ein spitzer Winkel$\Rightarrow 0^\circ < \varphi < 90^\circ$ |
$\vec{a} \circ \vec{b} < 0$ | $\sphericalangle\left(\vec{a},\vec{b}\right)$ ist ein stumpfer Winkel$\Rightarrow 90^\circ < \varphi < 180^\circ$ |
$\vec{a} \circ \vec{b} = 0$ | $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind orthogonal$\Rightarrow \varphi = 90^\circ$ |
$\vec{a} \circ \vec{b} = \left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|$ | $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind parallel und gleichorientiert$\Rightarrow \varphi = 0^\circ$ |
$\vec{a} \circ \vec{b} = -\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|$ | $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind parallel und entgegengesetzt orientiert$\Rightarrow \varphi = 180^\circ$ |
$\vec{a} \circ \vec{a} = \left|\vec{a}\right|^2$ | Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist das Quadrat seiner Länge |
