Spannweite

In diesem Kapitel schauen wir uns die Spannweite an.

Aufgabe der deskriptiven Statistik ist es, große Datenmengen auf einige wenige Maßzahlen zu reduzieren, um damit komplexe Sachverhalte übersichtlich darzustellen. Eine dieser Maßzahlen ist die Spannweite.

Die Spannweite ist ein Streuungsparameter.

Unter dem Begriff Streuungsparameter werden alle statistischen Maßzahlen zusammengefasst, die eine Aussage über die Verteilung von einzelnen Werten um den Mittelwert machen.

Spannweite berechnen

Formel für die Spannweite

\(R = x_{\text{max}} - x_{\text{min}}\)

Dabei gilt:

  • \(R\) = Spannweite (engl. range)
  • \(x_{\text{max}}\) = größter Beobachtungswert
  • \(x_{\text{min}}\) = kleinster Beobachtungswert

Um die Spannweite zu berechnen, geht man also folgendermaßen vor:

Vorgehensweise

  1. Werte in aufsteigender Reihenfolge sortieren
  2. Größten Beobachtungswert bestimmen
  3. Kleinsten Beobachtungswert bestimmen
  4. Berechnung durchführen

Beispiel 1

In einer Schule fragen wir 10 Schüler nach ihrem Alter.

Die Antworten der Schüler sind in folgender Tabelle festgehalten:

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r} \hline
\text{Alter } x_i & 12 & 12 & 16 & 14 & 17 & 13 & 15 & 11 & 15 & 17 \\
\hline \end{array}\)

1.) Werte in aufsteigender Reihenfolge sortieren

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r} \hline
\text{Alter } x_i & 11 & 12 & 12 & 13 & 14 & 15 & 15 & 16 & 17 & 17 \\
\hline \end{array}\)

2.) Größten Beobachtungswert bestimmen

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r} \hline
\text{Alter } x_i & 11 & 12 & 12 & 13 & 14 & 15 & 15 & 16 & 17 & {\colorbox{orange}{\(17\)}} \\
\hline \end{array}\)

\(x_{\text{max}} = {\colorbox{orange}{\(17\)}}\)

3.) Kleinsten Beobachtungswert bestimmen

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r} \hline
\text{Alter } x_i & {\colorbox{yellow}{\(11\)}} & 12 & 12 & 13 & 14 & 15 & 15 & 16 & 17 & 17 \\
\hline \end{array}\)

\(x_{\text{min}} = {\colorbox{yellow}{\(11\)}}\)

4.) Berechnung durchführen

\(R = x_{\text{max}} - x_{\text{min}} = {\colorbox{orange}{\(17\)}} - {\colorbox{yellow}{\(11\)}} = 6\)

Die Spannweite \(R\) ist 6.

Beispiel 2

In einer Schule fragen wir 50 Schüler nach ihrem Alter.

Das Alter der Schüler und die absoluten Häufigkeiten sind in folgender Tabelle festgehalten:

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r|r|r|r} \hline
\text{Alter } x_i & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 \\ \hline
\text{absolute Häufigkeit } H_i & 4 &  4 & 10 & 2 & 11 & 5 & 4 & 7 & 3 \\
\hline \end{array}\)

1.) Werte in aufsteigender Reihenfolge sortieren

Dieser Schritt entfällt hier, da die Tabelle bereits entsprechend sortiert ist.

2.) Größten Beobachtungswert bestimmen

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r|r|r|r} \hline
\text{Alter } x_i & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & {\colorbox{orange}{\(18\)}} \\ \hline
\text{absolute Häufigkeit } H_i & 4 &  4 & 10 & 2 & 11 & 5 & 4 & 7 & 3 \\
\hline \end{array}\)

\(x_{\text{max}} = {\colorbox{orange}{\(18\)}}\)

3.) Kleinsten Beobachtungswert bestimmen

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r|r|r|r} \hline
\text{Alter } x_i & {\colorbox{yellow}{\(10\)}} & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 \\ \hline
\text{absolute Häufigkeit } H_i & 4 & 4 & 10 & 2 & 11 & 5 & 4 & 7 & 3 \\
\hline \end{array}\)

\(x_{\text{min}} = {\colorbox{yellow}{\(10\)}}\)

4.) Berechnung durchführen

\(R = x_{\text{max}} - x_{\text{min}} = {\colorbox{orange}{\(18\)}} - {\colorbox{yellow}{\(10\)}} = 8\)

Die Spannweite \(R\) ist 8.

Beispiel 3

In einer Schule fragen wir einige Schüler nach ihrem Alter.

Das Alter der Schüler und die relativen Häufigkeiten sind in folgender Tabelle festgehalten:

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r} \hline
\text{Alter } x_i & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 \\ \hline
\text{absolute Häufigkeit } h_i & 0,1 & 0,2 & 0,2  & 0,3 & 0,15 & 0,05 \\
\hline \end{array}\)

1.) Werte in aufsteigender Reihenfolge sortieren

Dieser Schritt entfällt hier, da die Tabelle bereits entsprechend sortiert ist.

2.) Größten Beobachtungswert bestimmen

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r} \hline
\text{Alter } x_i & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & {\colorbox{orange}{\(17\)}} \\ \hline
\text{absolute Häufigkeit } h_i & 0,1 & 0,2 & 0,2  & 0,3 & 0,15 & 0,05 \\
\hline \end{array}\)

\(x_{\text{max}} = {\colorbox{orange}{\(17\)}}\)

3.) Kleinsten Beobachtungswert bestimmen

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r} \hline
\text{Alter } x_i & {\colorbox{yellow}{\(12\)}} & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 \\ \hline
\text{absolute Häufigkeit } h_i & 0,1 & 0,2 & 0,2  & 0,3 & 0,15 & 0,05 \\
\hline \end{array}\)

\(x_{\text{min}} = {\colorbox{yellow}{\(12\)}}\)

4.) Berechnung durchführen

\(R = x_{\text{max}} - x_{\text{min}} = {\colorbox{orange}{\(17\)}} - {\colorbox{yellow}{\(12\)}} = 5\)

Die Spannweite \(R\) ist 5.

Streuungsparameter im Überblick

Im Folgenden findest einen Überblick über einige populäre Streuungsparameter.

Spannweite
(engl. range)

\(R = x_{\text{max}} - x_{\text{min}}\)

Interquartilsabstand
(engl. interquartile range)

\(IQR = Q_{0,75} - Q_{0,25}\)

Mittlere absolute Abweichung
(engl. average absolute deviation)
\[D = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|\]

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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