Steigungswinkel

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter dem Steigungswinkel versteht.

Wenn du schon einmal in den Bergen unterwegs warst, ist dir vielleicht das nebenstehende Verkehrzeichen aufgefallen.

Das Schild weist den Autofahrer darauf hin, dass die Straße eine 12 prozentige Steigung aufweist. Doch was bedeutet das eigentlich?

Eine Angabe von 12 % Steigung bedeutet,
dass pro 100 m in waagerechter Richtung
die Höhe um 12 m zunimmt.

Es gilt:
\[\frac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Längenunterschied}} = \frac{12}{100} = 12\:\%\]

Neben der Steigungsangabe in Prozent gibt es noch die Möglichkeit die Steigung über den Steigungswinkel \(\alpha\) anzugeben.

Um den Steigungswinkel zu berechnen, bedienen wir uns der Trigonometrie.

Für den Steigungswinkel gilt: \[\tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\] Dabei steht \(\tan\) für Tangens.

Für unser Beispiel gilt: \[\tan \alpha = \frac{12}{100}\] Den Steigungswinkel (in Grad) erhalten wir durch Auflösen der Gleichung nach \(\alpha\): \[\alpha = \arctan\left(\frac{12}{100}\right) \approx 6,84°\]

\(\arctan\) steht für Arcustangens. Dabei handelt es sich um die Umkehrfunktion des Tangens.
Auf den meisten handelsüblichen Taschenrechnern heißt die Arcustangens-Taste \(\tan^{-1}\).
Hinweis: Der Taschenrechner muss bei dieser Berechnung auf DEG (Degree) stehen.

Steigungswinkel einer Geraden

In der Mathematik begegnen wir der Steigung zum ersten Mal im Zusammenhang mit linearen Funktionen. Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet \(y = mx + n\). Dabei steht \(m\) für die Steigung.

Im Kapitel zum Steigungsdreieck haben wir gelernt, wie man die Steigung \(m\) einer Geraden berechnet: \[m = \frac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Längenunterschied}} = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}\] Die Formel zur Berechnung der Steigung einer Geraden bezeichnet man als Steigungsformel.

Um den Steigungswinkel \(\alpha\) zu berechnen, brauchen wir wieder den Tangens: \[\tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}\] \(\Rightarrow \tan \alpha = m\)

Den Steigungswinkel (in Grad) erhalten wir durch Auflösen der Gleichung nach \(\alpha\): \(\alpha = \arctan\left(m\right)\)

Übrigens lässt sich der Steigungswinkel einer Geraden nicht nur im Steigungsdreieck, sondern auch am Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse beobachten.

Jetzt verstehen wir auch die Definition, die in vielen Mathematikbüchern steht:

Der Steigungswinkel einer Geraden ist
derjenige im mathematisch positiven Sinn gemessene Winkel \(\alpha\),
den die Gerade mit der positiven x-Achse einschließt.

Die Formulierung im mathematisch positiven Sinn bedeutet dabei gegen den Uhrzeigersinn.

Sonderfälle

  • Ist die Gerade parallel zur x-Achse, gilt \(\alpha = 0°\).
  • Ist die Gerade parallel zur y-Achse, gilt \(\alpha = 90°\).

a) Steigung ist positiv

\(\alpha = \arctan(m)\)

Beispiel

Gegeben ist eine lineare Funktion mit der Funktionsgleichung \(y = \frac{2}{3}x + 1\).
Wie groß ist der Steigungswinkel der Geraden?

Die Steigung \(m\) lässt sich ablesen:
\(m = \frac{2}{3}\)

Der Steigungswinkel ist
\(\alpha = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) \approx 33,69°\)

b) Steigung ist negativ

\(\alpha = \arctan(m) + 180°\)

Beispiel

Gegeben ist eine lineare Funktion mit der Funktionsgleichung \(y = -\frac{2}{3}x + 1\).
Wie groß ist der Steigungswinkel der Geraden?

Die Steigung \(m\) lässt sich ablesen:
\(m = -\frac{2}{3}\)

Es gilt:
\(\alpha' = \arctan\left(-\frac{2}{3}\right) \approx -33,69°\)

Da die Steigung negativ ist berechnet man mit der Formel \(\alpha = \arctan(m)\) lediglich den
- negativen Winkel (= im Uhrzeigersinn)
zwischen
- der Geraden und der negativen x-Achse.

Wir suchen allerdings den
- positiven Winkel (gegen den Uhrzeigersinn)
zwischen
- der Geraden und der positiven x-Achse.

Um den Steigungswinkel zu berechnen, müssen wir 180° addieren:
\(\alpha = \alpha' + 180°\)
\(\phantom{\alpha} = -33,69° + 180° = 146,31°\)

Steigungswinkel und Schnittwinkel

Eine Gerade schließt mit der x-Achse zwei Winkel ein. Unter dem Schnittwinkel einer Geraden mit mit der x-Achse versteht man den kleineren der beiden möglichen Winkel.
Der Schnittwinkel wird stets positiv angegeben!

Positive Steigung

Bei einer positiven Steigung stimmt der Schnittwinkel mit der x-Achse mit dem Steigungswinkel überein.

Negative Steigung

Bei einer negativen Steigung stimmt der Schnittwinkel mit der x-Achse mit dem Steigungswinkel nicht überein.

In der Abbildung gilt
- \(\alpha\) = Steigungswinkel
- \(\beta\) = Schnittwinkel mit der x-Achse

Beispiele: siehe Kapitel zum Schnittwinkel

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Mehr zu linearen Funktionen

Im Zusammenhang mit linearen Funktionen gibt es bestimmte Fragestellungen, die in Prüfungen häufig abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die folgenden Kapitel nacheinander durchzulesen.

Untersuchung einer Funktion
Lineare Funktionen zeichnen
Punktprobe
y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion berechnen
Nullstelle einer linearen Funktion berechnen
Steigung einer linearen Funktion berechnen
> Steigungsdreieck
> Steigungsformel
> Steigungswinkel
Funktionsgleichung einer linearen Funktion bestimmen
Untersuchung zweier Funktionen
Lage zweier Geraden bestimmen
> Schnittpunkt zweier Geraden berechnen
> Schnittwinkel zweier Geraden berechnen
Umkehrfunktion
Umkehrfunktion bilden
Aufgaben mit Lösungen
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Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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