Steigungswinkel
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter dem Steigungswinkel versteht.
Erforderliches Vorwissen
Einführungsbeispiel
Wenn du schon einmal in den Bergen unterwegs warst, ist dir vielleicht das Verkehrzeichen aus der Abbildung bekannt.
Das Schild weist den Autofahrer darauf hin, dass die Straße eine 12%ige Steigung aufweist. Doch was bedeutet das eigentlich?
Eine Angabe von $12\ \%$ Steigung bedeutet,
dass pro $100\ \textrm{m}$ in waagerechter Richtung
die Höhe um $12\ \textrm{m}$ zunimmt.
Es gilt:
$$ \frac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Längenunterschied}} = \frac{12}{100} = 12\ \% $$
Herleitung
Neben der Steigungsangabe in Prozent gibt es noch die Möglichkeit die Steigung über den Steigungswinkel $\alpha$ anzugeben.
Um den Steigungswinkel zu berechnen, bedienen wir uns der Trigonometrie.
Für den Steigungswinkel gilt:
$$ \tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} $$
Dabei steht $\tan$ für Tangens.
$\arctan$ steht für Arcustangens. Dabei handelt es sich um die Umkehrfunktion des Tangens.
Berechnung mit dem Taschenrechner
Auf den meisten handelsüblichen Taschenrechnern heißt die Arcustangens-Taste $\tan^{-1}$.
Der Taschenrechner muss bei dieser Berechnung auf DEG (Degree) eingestellt sein.
Steigungswinkel einer Gerade
In der Mathematik begegnen wir der Steigung zum ersten Mal im Zusammenhang mit linearen Funktionen. Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet $y = mx + n$. Dabei steht $m$ für die Steigung.
Im Kapitel zum Steigungsdreieck haben wir gelernt, wie man die Steigung $m$ einer Gerade berechnet:
$$ m = \frac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Längenunterschied}} = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} $$
Die Formel zur Berechnung der Steigung einer Gerade heißt Steigungsformel.
Um den Steigungswinkel $\alpha$ zu berechnen, brauchen wir wieder den Tangens:
$$ \tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} $$
$$ \Rightarrow \tan \alpha = m $$
Den Steigungswinkel (in Grad) erhalten wir durch Auflösen der Gleichung nach $\alpha$:
$$ \alpha = \arctan\left(m\right) $$
Übrigens lässt sich der Steigungswinkel einer Gerade nicht nur im Steigungsdreieck, sondern auch am Schnittpunkt der Gerade mit der $x$-Achse beobachten.
Jetzt verstehen wir auch die Definition, die in vielen Mathematikbüchern steht:
Der Steigungswinkel einer Gerade ist
derjenige im mathematisch positiven Sinn gemessene Winkel $\alpha$,
den die Gerade mit der positiven $x$-Achse einschließt.
Die Formulierung im mathematisch positiven Sinn
bedeutet dabei gegen den Uhrzeigersinn
.
Sonderfälle
- Ist die Gerade parallel zur
$x$-Achse, gilt$\alpha = 0^\circ$. - Ist die Gerade parallel zur
$y$-Achse, gilt$\alpha = 90^\circ$.
Steigung ist positiv
$$ \alpha = \arctan(m) $$
Steigung ist negativ
$$ \alpha = \arctan(m) + 180^\circ $$
Gegeben ist eine lineare Funktion mit der Funktionsgleichung $y = -\frac{2}{3}x + 1$.
Wie groß ist der Steigungswinkel der Gerade?
Die Steigung $m$ lässt sich ablesen:
$$ m = -\frac{2}{3} $$
Es gilt:
$$ \alpha' = \arctan\left(-\frac{2}{3}\right) \approx -33{,}69^\circ $$
Da die Steigung negativ ist, berechnet man mit der Formel $\alpha = \arctan(m)$ lediglich den
- negativen Winkel
(= im Uhrzeigersinn) - zwischen der Gerade und der negativen
$x$-Achse.
Wir suchen allerdings den
- positiven Winkel
(= gegen den Uhrzeigersinn) - zwischen der Gerade und der positiven
$x$-Achse.
Um den Steigungswinkel zu berechnen, müssen wir $180^\circ$ addieren:
$$ \begin{align*} \alpha &= \alpha' + 180^\circ \\[5px] &= -33{,}69^\circ + 180^\circ \\[5px] &= 146{,}31^\circ \end{align*} $$
Steigungswinkel und Schnittwinkel
Eine Gerade schließt mit der $x$-Achse zwei Winkel ein.
Unter dem Schnittwinkel einer Gerade mit mit der $\boldsymbol{x}$-Achse versteht man den kleineren der beiden möglichen Winkel.
Der Schnittwinkel wird stets positiv angegeben!
Positive Steigung
Bei einer positiven Steigung stimmt der Schnittwinkel mit der $x$-Achse mit dem Steigungswinkel überein.
Negative Steigung
Bei einer negativen Steigung stimmt der Schnittwinkel mit der $x$-Achse nicht mit dem Steigungswinkel überein.
In der Abbildung gilt:
$\alpha$= Steigungswinkel$\beta$= Schnittwinkel mit der$x$-Achse
Mehr dazu im Kapitel zum Schnittwinkel!
