Stetige Verteilung
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine stetige Verteilung ist.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung (kurz: Verteilung) gibt an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Werte einer Zufallsvariable verteilen.
Wahrscheinlichkeitsverteilungen können wir ebenso wie Zufallsvariablen in diskret und stetig einteilen.
Definition
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariable heißt stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung oder kurz stetige Verteilung.
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung lassen sich durch eine Dichtefunktion oder eine Verteilungsfunktion beschreiben. Beide Funktionen enthalten die gleiche Information. Der Unterschied besteht lediglich in der Darstellung dieser Information.
Beispiele für stetige Verteilung
- Normalverteilung
- Stetige Gleichverteilung
- Exponentialverteilung
Beispiel
Ein Zufallsgenerator erzeugt zufällig eine Zahl zwischen 2,5 und 4,5.
1) Dichtefunktion
$$ \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 2{,}5 \\[5px] \frac{1}{2} & \text{für } 2{,}5 \le x \le 4{,}5 \\[5px] 0 & \text{für } x > 4{,}5 \end{cases} \end{equation*} $$
Merke: $f(x) \neq P(X = x)$
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable $X$ einen bestimmten Wert $x$ annimmt, ist stets Null.
Folglich gilt:$P(X = x) = 0$
Aus der Dichtefunktion selbst lassen sich keine Wahrscheinlichkeiten ablesen. Die Dichtefunktion hat nur die Aufgabe, einen visuellen Eindruck der Verteilung zu vermitteln.
Bei stetigen Zufallsvariablen verwendet man deshalb zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die entsprechende Verteilungsfunktion. Sie ergibt sich aus der Integration der Dichtefunktion:
$$ F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} \! f(u) \, \textrm{d}u $$
Die Wahrscheinlichkeiten entsprechen also der jeweiligen Fläche unter dem Graphen der Dichtefunktion.
Maßzahlen
Wir wissen bereits, dass sich eine stetige Verteilung entweder durch eine
vollständig beschreiben lässt.
Häufig ist eine vollständige Beschreibung der Verteilung gar nicht notwendig: Um sich einen groben Überblick über eine Verteilung zu verschaffen, betrachtet man einige charakteristische Maßzahlen. Dazu zählen u. a. der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.
