Symmetrieverhalten

In diesem Kapitel besprechen wir das Symmetrieverhalten einer Funktion.

Beim Symmetrieverhalten geht es um die Frage, ob der Graph einer Funktion

  • zu einer Achse (z. B. der y-Achse) oder
  • zu einem Punkt (z. B. dem Ursprung)

symmetrisch ist.

Achsensymmetrie zur y-Achse

Achsensymmetrie zur y-Achse liegt vor, wenn gilt

\(f(-x) = f(x)\)

Das Vorgehen lässt sich also folgendermaßen beschreiben

  1. \(-x\) in die Funktion einsetzen
  2. Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich \(f(x)\) ist

Beispiel

\(f(x) = x^2\)

1.) \(-x\) in die Funktion einsetzen

\(f({\color{red}-x}) = ({\color{red}-x})^2 = x^2\)

Da der Exponent gerade ist, fällt das negative Vorzeichen weg.

2.) Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich \(f(x)\) ist

\(f(-x) = x^2 = f(x)\)

\(\Rightarrow\) Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse

Punktsymmetrie zum Ursprung

Punktsymmetrie zum Ursprung liegt vor, wenn gilt

\(f(-x) = -f(x)\)

Das Vorgehen lässt sich also folgendermaßen beschreiben

  1. \(-x\) in die Funktion einsetzen
  2. Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich \(-f(x)\) ist

Beispiel

\(f(x) = x^3\)

1.) \(-x\) in die Funktion einsetzen

\(f({\color{red}-x}) = ({\color{red}-x})^3 = -x^3\)

Da der Exponent ungerade ist, bleibt das negative Vorzeichen erhalten.

2.) Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich \(-f(x)\) ist

\(f(-x) = -x^3 = -f(x)\)

\(\Rightarrow\) Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung

Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse

Symmetrie zu einer Achse liegt vor, wenn gilt

\(f(x_0+h) = f(x_0-h)\)

Dabei ist \(x_0\) die Gleichung der Achse.

Das Vorgehen lässt sich also folgendermaßen beschreiben

  1. \(x_0+h\) in die Funktion einsetzen
  2. \(x_0-h\) in die Funktion einsetzen
  3. Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen

Beispiel

\(f(x) = x^2 - 4x + 4\)

Ist die Funktion \(f(x)\) zur Achse \(x_0 = 2\) symmetrisch?

1.) \(x_0+h\) in die Funktion einsetzen

\(\begin{align*}
f({\color{red}x_0+h}) &= ({\color{red}2+h})^2 - 4({\color{red}2+h}) + 4\\
&= 4 +4h + h^2 - 8 - 4h + 4\\
&= h^2
\end{align*}\)

2.) \(x_0-h\) in die Funktion einsetzen

\(\begin{align*}
f({\color{red}x_0-h}) &= ({\color{red}2-h})^2 - 4({\color{red}2-h}) + 4\\
&= 4 - 4h + h^2 - 8 + 4h + 4\\
&= h^2
\end{align*}\)

3.) Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen

Wegen

\(f(x_0+h)=f(x_0-h)\)

bzw.

\(h^2 = h^2\)

ist die Funktion \(f(x)\) zur Achse mit der Gleichung \(x_0 = 2\) symmetrisch.

Punktsymmetrie zu einem Punkt

Symmetrie zu einem Punkt liegt vor, wenn gilt

\(f(x_0+h) - y_0= - f(x_0-h) + y_0\)

Dabei sind \(x_0\) und \(y_0\) die Koordinaten des Punktes.

Das Vorgehen lässt sich also folgendermaßen beschreiben

  1. \(f(x_0+h) - y_0\) berechnen
  2. \(- f(x_0-h) + y_0\) berechnen
  3. Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen

Beispiel

\(f(x) = x^3 + 3x^2\)

Ist die Funktion \(f(x)\) zum Punkt \((-1|2)\) symmetrisch?

1.) \(f(x_0+h) - y_0\) berechnen

\(\begin{align*}
f({\color{red}x_0+h}) - {\color{blue}y_0} &= \left[({\color{red}-1+h})^3 + 3({\color{red}-1+h})^2\right] - {\color{blue}2}\\
&=\left[\left(1 - 2h +h^2\right) \cdot \left(-1+h\right) + 3\left(1-2h+h^2\right)\right] - 2\\
&= \left[-1 + 2h - h^2 + h - 2h^2 + h^3 + 3 -6h + 3h^2\right] - 2\\
& = \left[h^3 - 3h + 2\right] - 2\\
&= h^3 - 3h\end{align*}\)

2.) \(- f(x_0-h) + y_0\) berechnen

\(\begin{align*}
- f({\color{red}x_0-h}) + {\color{blue}y_0} &= -\left[({\color{red}-1-h})^3 + 3({\color{red}-1-h})^2\right] + {\color{blue}2}\\
&=-\left[\left(1+2h+h^2\right) \cdot \left(-1-h\right) + 3(1+2h+h^2)\right] + 2\\
&= -\left[-1 -2h -h^2 -h -2h^2 -h^3 + 3 + 6h + 3h^2 \right] + 2\\
&= -\left[-h^3 + 3h + 2\right] + 2\\
&= h^3 - 3h
\end{align*}\)

3.) Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen

Wegen

\(f(x_0+h) - y_0 = - f(x_0-h) + y_0\)

bzw.

\(h^3 - 3h = h^3 - 3h\)

ist die Funktion \(f(x)\) zum Punkt \((-1|2)\) symmetrisch.

Mehr zum Symmetrieverhalten

Wenn du mehr zum Symmetrieverhalten erfahren möchtest, lies dir folgende Kapitel durch:

  Bedingung
Achsensymmetrie zur y-Achse \(f(-x) = f(x)\)
Punktsymmetrie zum Ursprung \(f(-x) = -f(x)\)
Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse \(f(x_0+h) = f(x_0-h)\)
Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt \(f(x_0+h)-y_0 = -f(x_0-h)+y_0\)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!