Tangensfunktion

In diesem Kapitel schauen wir uns die Tangensfunktion etwas genauer an.

Notwendiges Vorwissen: Tangens

Die Tangensfunktion ist eine Funktion,
die jedem \(x \in \mathbb{D}\) seinen Tangenswert \(y\) zuordnet:

\(y = \tan(x) \quad \text{mit } \mathbb{D} =\mathbb{R}\backslash\{\frac{\pi}{2} + k \cdot \pi, k \in \mathbb{Z}\}\)

Die Tangensfunktion gehört zu den trigonometrischen Funktionen.

Graph der Tangensfunktion

Der Graph der Tangensfunktion heißt Tangenskurve.

Um die Tangensfunktion sauber zu zeichnen, legen wir zunächst eine Wertetabelle an.

\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & 0° & 30° & 45° & 60° & 90° & 120° & 135° & 150° & 180°\\
 & {\color{gray}0} & {\color{gray}\frac{\pi}{6}} & {\color{gray}\frac{\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{\pi}{2}} & {\color{gray}\frac{2\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{3\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{5\pi}{6}} & {\color{gray}\pi} \\
\hline
\tan(x) & 0 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} & \text{n. def.} & -\sqrt{3} & -1 & -\frac{\sqrt{3}}{3} & 0
\end{array}

Die obige Tabelle zeigt, dass es rechnerisch keinen Unterschied macht, ob die Argumente (\(x\)-Werte) der Funktion im Gradmaß oder im Bogenmaß vorliegen. Zur Darstellung von trigonometrischen Funktionen in einem Koordinatensystem ist es allerdings üblich, das Bogenmaß zu verwenden. Zur Erinnerung: \(360°\) (Gradmaß) entsprechen \(2\pi\) (Bogenmaß).


Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion
\[y = \tan(x)\]

Eigenschaften der Tangensfunktion

Die Tangensfunktion besitzt einige interessante Eigenschaften, die wir im Folgenden betrachten:


Definitionsmenge

\(\mathbb{D} =\mathbb{R}\backslash\{\frac{\pi}{2} + k \cdot \pi, k \in \mathbb{Z}\}\)

Wertemenge

\(\mathbb{W} =\mathbb{R}\)

Periode

\(\tan(x + \pi) = \tan(x)\)

Die Tangensfunktion ist periodisch,
d. h. ihre Funktionswerte wiederholen
sich in regelmäßigen Abständen (\(\pi\)).

Symmetrie

\(\tan(-x) = -\tan(x)\)
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung

Aus dem Artikel zum Tangens wissen wir, dass gilt: \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\).

Um die Nullstellen der Tangensfunktion zu bestimmen, hilft uns folgender Satz:
Ein Bruch wird Null, wenn sein Zähler gleich Null ist.

Daraus folgt:

Nullstellen der Tangensfunktion = Nullstellen der Sinusfunktion


Nullstellen

\(x_k = k \cdot \pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z}\)

Beispiele
\(\begin{align*} x_{-2} &= (-2) \cdot \pi = -2\pi\\[5pt] x_{-1} &= (-1) \cdot \pi = -\pi\\[5pt] x_{0} &= 0 \cdot \pi = 0\\[5pt] x_{1} &= 1 \cdot \pi = \pi\\[5pt] x_{2} &= 2 \cdot \pi = 2\pi \end{align*}\)

Wenn wir uns den Zusammenhang \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) noch etwas genauer ansehen, können wir auch erkennen, an welchen Stellen die Tangensfunktion nicht definiert ist. Wir erinnern uns, dass der Nenner eines Bruchs nicht Null werden darf, da eine Division durch Null nicht erlaubt ist.

Daraus folgt:

Definitionslücken der Tangensfunktion = Nullstellen der Kosinusfunktion

Die Tangensfunktion besitzt besondere Definitionslücken, sog. Polstellen.


Polstellen

\(x_k = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z}\)

Beispiele
\(\begin{align*} x_{-1} &= \frac{\pi}{2} + (-1) \cdot \pi = -\frac{\pi}{2}\\[5pt] x_{0} &= \frac{\pi}{2} + 0 \cdot \pi = \frac{\pi}{2}\\[5pt] x_{1} &= \frac{\pi}{2} + 1 \cdot \pi = \frac{3\pi}{2} \end{align*}\)

Die Funktionsgleichung der senkrechten Asymptoten ist demnach \(x = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi\).

Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften

Funktionsgleichung \(y = \tan(x)\)  
Definitionsmenge \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\backslash\{\frac{\pi}{2} + k \cdot \pi, k \in \mathbb{Z}\}\)  
Wertemenge \(\mathbb{W} = \mathbb{R}\)  
Periode \(\pi\)  
Symmetrie
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung  
Nullstellen \(x_k = k \cdot \pi\) \(k \in \mathbb{Z}\)
Polstellen
\(x_k = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi\)  
Senkrechte Asymptoten
\(x_{\phantom{k}} = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi\)  

 

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!