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Teilweises Wurzelziehen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie das teilweise Wurzelziehen funktioniert.
(Alternative Bezeichnung: Partielles Radizieren)

Es empfiehlt sich, zunächst den Einführungsartikel zum Thema Wurzeln zu lesen.
Außerdem solltest du bereits das Kapitel Wurzelziehen verstanden haben.

Problemstellung

Vielleicht ist dir bereits bekannt, dass die Wurzel aus 4 gleich 2 ist: \(\sqrt{4} = 2\).
Falls nicht, lässt sich das mit einem Taschenrechner leicht überprüfen.
Bei der Wurzel aus 8 zeigt der Taschenrechner ungefähr sowas an: \(\sqrt{8} = 2,8284427..\).
...eine ziemlich lange Zahl und in der Klausur äußerst unpraktisch zum Rechnen!

Aus diesem Grund gibt es das teilweise Wurzelziehen:
Dabei wird die Wurzel in eine „ziehbare“ und in eine „nicht-ziehbare“ Wurzel aufgeteilt.
(Bsp. \(\sqrt[2]{8} = \sqrt[2]{2 \cdot 2 \cdot 2} = \underbrace{\sqrt[2]{2^3}}_{\text{teilweise ziehbar}} = \sqrt[2]{2^2 \cdot 2} = \underbrace{\sqrt[2]{2^2}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{\sqrt[2]{2}}_{\text{nicht-ziehbar}} = 2\sqrt[2]{2}\))

  • Eine (vollständig) ziehbare Wurzel hat die Eigenschaft, dass der Exponent der Potenz unter der Wurzel ein Vielfaches des Wurzelexponenten ist.
    (Bsp. \(\sqrt[2]{a^2}\), \(\sqrt[2]{a^4}\), \(\sqrt[2]{a^6}\)...)
    (Bsp. \(\sqrt[3]{a^3}\), \(\sqrt[3]{a^6}\), \(\sqrt[3]{a^9}\)...)
  • Eine nicht-ziehbare Wurzel hat die Eigenschaft, dass der Exponent der Potenz
    - kein Vielfaches des Wurzelexponenten und
    - kleiner als der Wurzelexponent ist.
    (Bsp. \(\sqrt[2]{a^1} = \sqrt{a}\))
    (Bsp. \(\sqrt[3]{a^1}\) und \(\sqrt[3]{a^2}\))
  • Eine teilweise ziehbare Wurzel hat die Eigenschaft, dass der Exponent der Potenz
    - kein Vielfaches des Wurzelexponenten und
    - größer als der Wurzelexponent ist.
    \(\Rightarrow\) Die Wurzel lässt sich in eine ziehbare und eine nicht-ziehbare Wurzel zerlegen.
    (Bsp. \(\sqrt[2]{a^3} = \sqrt[2]{a^2 \cdot a} = \sqrt[2]{a^2} \cdot \sqrt[2]{a}\))
    (Bsp. \(\sqrt[2]{a^5} = \sqrt[2]{a^4 \cdot a} = \sqrt[2]{a^4} \cdot \sqrt[2]{a}\))
    (Bsp. \(\sqrt[3]{a^4} = \sqrt[3]{a^3 \cdot a} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{a}\))
    (Bsp. \(\sqrt[3]{a^8} = \sqrt[3]{a^6 \cdot a^2} = \sqrt[3]{a^6} \cdot \sqrt[3]{a^2}\))

Hinweis: Unter einer „nicht-ziehbaren Wurzel“ verstehen wir hier eine Wurzel, die sich ohne Taschenrechner oder Verfahren wie das schriftliche Wurzelziehen nicht berechnen lässt.
(Bsp. \(\sqrt[2]{2^1} = \sqrt{2} = 1,414213...\))
(Bsp. \(\sqrt[2]{3^1} = \sqrt{3} = 1,732050...\))
(Bsp. \(\sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4} = 1,587401...\))

Im Folgenden schauen wir uns an, wie das teilweise Wurzelziehen genau funktioniert:

Vorgehensweise

  1. Primfaktorzerlegung
  2. Potenzen auseinanderziehen
  3. Wurzel auseinanderziehen
  4. Wurzeln als Potenzen schreiben
  5. Exponenten kürzen

zu 1.)
1.1 Zahl unter der Wurzel in ein Produkt aus Primzahlen zerlegen [> Primfaktorzerlegung]
      (Bsp. \(\sqrt{8} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}\))
1.2 Primzahlen zusammenfassen
      (Bsp. \(\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt{2^3}\))

Falls nur Variablen unter der Wurzel sind, kann man sich diesen Schritt sparen.

zu 2.)
Potenzen auseinanderziehen [= Umkehrung des Potenzgesetzes „Potenzen multiplizieren“]

Falls sich unter der Wurzel eine Potenz befindet, deren Exponent
- kein Vielfaches des Wurzelexponenten und
- größer als der Wurzelexponent ist,
ziehen wir die Potenz so auseinander,
dass eine ziehbare und eine nicht-ziehbare Wurzel entsteht (siehe nächster Schritt!).
(Bsp. \(\sqrt{2^3} = \sqrt{2^2 \cdot 2}\))

Falls es keine teilweise ziehbaren Wurzeln gibt, kann man sich diesen Schritt sparen.

zu 3.)
Wurzel auseinanderziehen [= Umkehrung des Wurzelgesetzes „Wurzeln multiplizieren“]
(Bsp. \(\sqrt{2^2 \cdot 2} = \underbrace{\sqrt{2^2}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{{\color{blue}\sqrt{2}}}_{\text{nicht-ziehbar}}\))

zu 4.)
Wurzeln als Potenzen schreiben [> Wurzeln in Potenzen umformen]
(Bsp. \(\sqrt[{\color{red}2}]{2^2} \cdot {\color{blue}\sqrt{2}} = 2^\frac{2}{{\color{red}2}} \cdot {\color{blue}\sqrt{2}}\))

Nicht-ziehbare Wurzeln bleiben in diesem Schritt unverändert!

zu 5.)
Durch die Umwandlung der Wurzeln in Potenzen (4. Schritt) erhält man Potenzen mit „gebrochenrationalen Exponenten“, d.h. die Exponenten der Potenzen sind Brüche...
...und Brüche lassen sich bekanntlich kürzen [> Brüche kürzen].
(Bsp. \(2^\frac{2}{2} \cdot {\color{blue}\sqrt{2}} = 2^1 \cdot {\color{blue}\sqrt{2}} = 2{\color{blue}\sqrt{2}}\))

\(\Rightarrow \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)

Inhaltsverzeichnis

Im Folgenden schauen wir uns zahlreiche Beispiele an:

  1. Quadratwurzeln berechnen
    1.1 Teilweises Wurzelziehen mit Zahlen
    1.2 Teilweises Wurzelziehen mit Variablen
  2. Höhere Wurzeln berechnen
    2.1 Teilweises Wurzelziehen mit Zahlen
    2.2 Teilweises Wurzelziehen mit Variablen

1. Quadratwurzeln berechnen

1.1 Teilweises Wurzelziehen mit Zahlen

Beispiel 1

\(\sqrt{243} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{243}}
&= \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}\\
&= \sqrt{3^5}
\end{align*}\)

2.) Potenzen auseinanderziehen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{243}}
&= \sqrt{3^4 \cdot 3}
\end{align*}\)

3.) Wurzel auseinanderziehen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{243}}
&= \underbrace{\sqrt{3^4}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{{\color{blue}\sqrt{3}}}_{\text{nicht-ziehbar}}
\end{align*}\)

4.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{243}}
&= \sqrt[{\color{red}2}]{3^4} \cdot {\color{blue}\sqrt{3}}\\
&= 3^\frac{4}{{\color{red}2}} \cdot {\color{blue}\sqrt{3}}
\end{align*}\)

5.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{243}}
&= 3^2 \cdot {\color{blue}\sqrt{3}}\\
&= 3 \cdot 3 \cdot {\color{blue}\sqrt{3}}\\
&= 9{\color{blue}\sqrt{3}}
\end{align*}\)

Beispiel 2

\(\sqrt{72} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{72}}
&= \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}\\
&= \sqrt{2^3 \cdot 3^2}
\end{align*}\)

2.) Potenzen auseinanderziehen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{72}}
&= \sqrt{2^2 \cdot 2 \cdot 3^2}\\
&= \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 2}
\end{align*}\)

3.) Wurzel auseinanderziehen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{72}}
&= \underbrace{\sqrt{2^2}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{\sqrt{3^2}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{{\color{blue}\sqrt{2}}}_{\text{nicht-ziehbar}}
\end{align*}\)

4.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{72}}
&= \sqrt[{\color{red}2}]{2^2} \cdot \sqrt[{\color{red}2}]{3^2} \cdot {\color{blue}\sqrt{2}}\\
&= 2^\frac{2}{{\color{red}2}} \cdot 3^\frac{2}{{\color{red}2}} \cdot {\color{blue}\sqrt{2}}
\end{align*}\)

5.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{72}}
&= 2^1 \cdot 3^1 \cdot {\color{blue}\sqrt{2}}\\
&= 2 \cdot 3 \cdot {\color{blue}\sqrt{2}}\\
&= 6{\color{blue}\sqrt{2}}
\end{align*}\)

1.2 Teilweises Wurzelziehen mit Variablen

Beispiel 1

\(\sqrt{a^{11}} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel kommen nur Variablen vor!)

2.) Potenzen auseinanderziehen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{a^{11}}}
&= \sqrt{a^{10} \cdot a}
\end{align*}\)

3.) Wurzel auseinanderziehen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{a^{11}}}
&= \underbrace{\vphantom{\sqrt{a}}\sqrt{a^{10}}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{{\color{blue}\sqrt{a}}}_{\text{nicht-ziehbar}}
\end{align*}\)

4.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{a^{11}}}
&= \sqrt[{\color{red}2}]{a^{10}} \cdot {\color{blue}\sqrt{a}}\\
&= a^\frac{10}{{\color{red}2}} \cdot {\color{blue}\sqrt{a}}
\end{align*}\)

5.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{a^{11}}}
&= a^5{\color{blue}\sqrt{a}}
\end{align*}\)

Beispiel 2

\(\sqrt{18b} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{18b}}
&= \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot b}\\
&= \sqrt{2 \cdot 3^2 \cdot b}\\
&= \sqrt{3^2 \cdot 2b}
\end{align*}\)

2.) Potenzen auseinanderziehen

Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Es gibt keine teilweise ziehbare Wurzel!)

3.) Wurzel auseinanderziehen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{18b}}
&= \underbrace{\sqrt{3^2}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{{\color{blue}\sqrt{2b}}}_{\text{nicht-ziehbar}}
\end{align*}\)

4.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{18b}}
&= \sqrt[{\color{red}2}]{3^2} \cdot {\color{blue}\sqrt{2b}}\\
&= 3^\frac{2}{{\color{red}2}} \cdot {\color{blue}\sqrt{2b}}
\end{align*}\)

5.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt{18b}}
&= 3^1 \cdot {\color{blue}\sqrt{2b}}\\
&= 3{\color{blue}\sqrt{2b}}
\end{align*}\)

2. Höhere Wurzeln berechnen

2.1 Teilweises Wurzelziehen mit Zahlen

Beispiel 1

\(\sqrt[5]{128} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[5]{128}}
&= \sqrt[5]{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}\\
&= \sqrt[5]{2^7}
\end{align*}\)

2.) Potenzen auseinanderziehen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[5]{128}}
&= \sqrt[5]{2^5 \cdot 2^2}
\end{align*}\)

3.) Wurzel auseinanderziehen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[5]{128}}
&= \underbrace{\sqrt[{\color{red}5}]{2^5}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{{\color{blue}\sqrt[5]{2^2}}}_{\text{nicht-ziehbar}}
\end{align*}\)

4.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[5]{128}}
&= 2^\frac{5}{{\color{red}5}} \cdot {\color{blue}\sqrt[5]{2^2}}
\end{align*}\)

5.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[5]{128}}
&= 2^1 \cdot {\color{blue}\sqrt[5]{2^2}}\\
&= 2{\color{blue}\sqrt[5]{4}}
\end{align*}\)

Beispiel 2

\(\sqrt[3]{288} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{288}}
&= \sqrt[3]{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}\\
&= \sqrt[3]{2^5 \cdot 3^2}
\end{align*}\)

2.) Potenzen auseinanderziehen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{288}}
&= \sqrt[3]{2^3 \cdot 2^2 \cdot 3^2}
\end{align*}\)

3.) Wurzel auseinanderziehen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{288}}
&= \underbrace{\sqrt[{\color{red}3}]{2^3}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{{\color{blue}\sqrt[3]{2^2 \cdot 3^2}}}_{\text{nicht-ziehbar}}
\end{align*}\)

4.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{288}}
&= 2^\frac{3}{{\color{red}3}} \cdot {\color{blue}\sqrt[3]{2^2 \cdot 3^2}}
\end{align*}\)

5.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{288}}
&= 2^1 \cdot {\color{blue}\sqrt[3]{2^2 \cdot 3^2}}\\
&= 2 \cdot {\color{blue}\sqrt[3]{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}}\\
&= 2{\color{blue}\sqrt[3]{36}}\\
\end{align*}\)

2.2 Teilweises Wurzelziehen mit Variablen

Beispiel 1

\(\sqrt[5]{a^{-19}} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel kommen nur Variablen vor!)

2.) Potenzen auseinanderziehen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[5]{a^{-19}}}
&= \sqrt[5]{a^{-15} \cdot a^{-4}}
\end{align*}\)

3.) Wurzel auseinanderziehen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[5]{a^{-19}}}
&= \underbrace{\sqrt[{\color{red}5}]{a^{-15}}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{\vphantom{\sqrt[{\color{red}5}]{a^{-15}}}{\color{blue}\sqrt[5]{a^{-4}}}}_{\text{nicht-ziehbar}}
\end{align*}\)

4.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[5]{a^{-19}}}
&= a^\frac{-15}{{\color{red}5}} \cdot {\color{blue}\sqrt[5]{a^{-4}}}
\end{align*}\)

5.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[5]{a^{-19}}}
&= a^{-3}{\color{blue}\sqrt[5]{a^{-4}}}
\end{align*}\)

Beispiel 2

\(\sqrt[3]{81(a+b)^4} =\)

1.) Primfaktorzerlegung

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{81(a+b)^4}}
&= \sqrt[3]{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot (a+b)^4}\\
&= \sqrt[3]{3^4 \cdot (a+b)^4}
\end{align*}\)

2.) Potenzen auseinanderziehen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{81(a+b)^4}}
&= \sqrt[3]{3^3 \cdot 3 \cdot (a+b)^3 \cdot (a+b)}\\
&= \sqrt[3]{3^3 \cdot (a+b)^3 \cdot 3(a+b)}
\end{align*}\)

3.) Wurzel auseinanderziehen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{81(a+b)^4}}
&= \underbrace{\vphantom{\sqrt[{\color{red}3}]{(a+b)^3}}\sqrt[{\color{red}3}]{3^3}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{\sqrt[{\color{red}3}]{(a+b)^3}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{{\color{blue}\sqrt[3]{3(a+b)}}}_{\text{nicht-ziehbar}}
\end{align*}\)

4.) Wurzeln als Potenzen schreiben

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{81(a+b)^4}}
&= 3^\frac{3}{{\color{red}3}} \cdot (a+b)^\frac{3}{{\color{red}3}} \cdot {\color{blue}\sqrt[3]{3(a+b)}}
\end{align*}\)

5.) Exponenten kürzen

\(\begin{align*}
\phantom{\sqrt[3]{81(a+b)^4}}
&= 3^1 \cdot (a+b)^1 \cdot {\color{blue}\sqrt[3]{3(a+b)}}\\
&= 3(a+b){\color{blue}\sqrt[3]{3(a+b)}}
\end{align*}\)

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Mehr zur Wurzelrechnung

Im Zusammenhang mit Wurzeln sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:

Grundlagen  
Wurzeln \[\sqrt[n]{a}\]
> Quadratwurzel \[\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}\]
> Kubikwurzel \[\sqrt[3]{a}\]
Wurzelziehen \[\sqrt{a^2} = a\]
Teilweises Wurzelziehen \[\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = a\sqrt{a}\]
Wurzelexponenten erweitern \[\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n{\color{red}p}]{a^{m{\color{red}p}}}\]
Wurzelexponenten kürzen \[\sqrt[n\cancel{p}]{a^{m\cancel{p}}} = \sqrt[n]{a^m}\]
Wurzeln gleichnamig machen  
> Gleichnamige Wurzeln \(=\) gleicher Wurzelexponent
> Ungleichnamige Wurzeln \(=\) unterschiedlicher Wurzelexponent
Rechnen mit Wurzeln  
Wurzelgesetze Alle Wurzelgesetze im Überblick!
> Wurzeln addieren \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} + b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a + b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln subtrahieren \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} - b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a - b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln multiplizieren

a) Gleichnamige Wurzeln

\[\sqrt[{\color{green}n}]{a} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{b} = \sqrt[{\color{green}n}]{a \cdot b}\]

b) Ungleichnamige Wurzeln

\(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen

> Wurzeln dividieren

a) Gleichnamige Wurzeln

\[\frac{\sqrt[{\color{green}n}]{a}}{\sqrt[{\color{green}n}]{b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{a}{b}}\]

b) Ungleichnamige Wurzeln

\(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen

> Wurzeln potenzieren \[(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\]
> Wurzeln radizieren \[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\]
Rationalmachen des Nenners  
Nenner rational machen \(=\) Wurzel im Nenner eines Bruchs eliminieren
Aufgaben mit Lösungen  
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Bei dem Thema Wurzelrechnung ist es besonders wichtig, zu jedem Aufgabentypen möglichst viele Übungsaufgaben zu berechnen. Schließlich gilt: "Übung macht den Meister!".

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!