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Transponierte Matrix

In diesem Kapitel lernen wir, was eine transponierte Matrix ist und wie man sie berechnet.

Wusstest du schon, dass dein Casio Taschenrechner auch Matrizen transponieren kann?

In diesem Mathe Video (1:26 min) wird dir anhand eines anschaulichen Beispiels erklärt,
wie man die transponierte Matrix berechnet.

Voraussetzung für das Transponieren von Matrizen

Es gibt keine Voraussetzungen. Jede beliebige Matrix lässt sich transponieren.

Was ist eine transponierte Matrix?

Die transponierte Matrix \(A^{T}\) erhält man durch Vertauschen der Zeilen und Spalten der Matrix \(A\).

Transponierte Matrix - Beispiel

Alle drei Verfahren, die im Folgenden besprochen werden, führen zu demselben Ergebnis.

Möglichkeit 1

Eine Matrix wird transponiert, indem man aus den Zeilen Spalten macht.

Aus der 1. Zeile der Matrix A wird die 1. Spalte der transponierten Matrix \(A^{T}\)...usw.

\(A = \begin{pmatrix}{\color{red}2} &{\color{red}3} &{\color{red}0} \\ 1 & 4 & 5\end{pmatrix} \quad \rightarrow \quad A^{T} = \begin{pmatrix}{\color{red}2} & 1 \\{\color{red}3} & 4 \\{\color{red}0} & 5 \end{pmatrix} \)

Möglichkeit 2

Eine Matrix wird transponiert, indem man aus den Spalten Zeilen macht.

Aus der 1. Spalte der Matrix A wird die 1. Zeile der transponierten Matrix \(A^{T}\)...usw.

\(A = \begin{pmatrix}{\color{red}2} &{\color{blue}3} & 0 \\{\color{red}1} &{\color{blue}4} & 5\end{pmatrix} \quad \rightarrow \quad A^{T} = \begin{pmatrix}{\color{red}2} &{\color{red}1} \\{\color{blue}3} &{\color{blue}4} \\ 0 & 5 \end{pmatrix}\)

Möglichkeit 3

Eine Matrix wird transponiert, indem man die Matrix an der Hauptdiagonalen spiegelt.

\(A = \begin{pmatrix}{\color{red}2} & {\color{blue}3} & {\color{blue}0} \\ 1 & {\color{red}4} & {\color{blue}5}\end{pmatrix} \quad \rightarrow \quad A^{T} = \begin{pmatrix}{\color{red}2} & 1 \\ {\color{blue}3} & {\color{red}4} \\ {\color{blue}0} & {\color{blue}5} \end{pmatrix}\)

Die Elemente der Hauptdiagonalen (\(a_{11}, a_{22}\) ...) sind in obigem Beispiel in rot dargestellt.

Rechenregeln

  Erklärung
\(\left(A^{T}\right)^{T} = A\) Zweimaliges Transponieren einer Matrix
führt wieder zur ursprünglichen Matrix.
\(\left(A + B\right)^{T} = A^{T} + B^{T}\) Die Transponierte einer Summe von Matrizen
entspricht der Summe aus den Transponierten der Matrizen.
\(\left(A \cdot B\right)^{T} = B^{T} \cdot A^{T}\) Die Transponierte eines Matrizenproduktes
entspricht dem Produkt der transponierten Matrizen
- in umgekehrter Reihenfolge (!).

Symmetrische und antisymmetrische Matrizen

Gilt \(A = A^{T}\), so handelt es sich bei der Matrix A um eine symmetrische Matrix.
Gilt \(A = -A^{T}\), so nennt man die Matrix antisymmetrisch oder schiefsymmetrisch.

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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