Trigonometrie

Dieses Kapitel dient als Einführung in die Trigonometrie.

Das Wort Trigonometrie kommt aus dem Griechischen und bedeutet Dreiecksmessung.

Die Grundaufgabe der Trigonometrie besteht darin, aus den gegebenen Größen eines Dreiecks (z.B. Seitenlängen, Winkel usw.) andere Größen dieses Dreiecks zu berechnen.

Da sich in der Trigonometrie alles um Dreiecke dreht, sollten wir an dieser Stelle noch einmal einige Begriffe wiederholen.

Wiederholung: Dreiecke

Die Ecken eines Dreiecks werden mit Großbuchstaben (A, B, C) gegen den Uhrzeigersinn beschriftet.

Die Seiten eines Dreiecks werden mit Kleinbuchstaben (a, b, c) beschriftet. Dabei liegt die Seite a gegenüber dem Eckpunkt A...

Die Winkel eines Dreiecks werden mit griechischen Buchstaben beschriftet. Dabei befindet sich der Winkel \(\alpha\) beim Eckpunkt A...

Wiederholung: Satzgruppe des Pythagoras

Der Satz von Pythagoras, der Kathetensatz sowie der Höhensatz eignen sich ebenfalls zum Berechnen von fehlenden Größen eines Dreiecks. Wieso brauchen wir dann überhaupt die Trigonometrie?

Der Satz des Pythagoras, der Kathetensatz und der Höhensatz treffen lediglich Aussagen über die Längen in einem rechtwinkligen Dreieck. Mit Hilfe der Trigonometrie können wir jedoch auch Winkel in die Berechnung mit einbeziehen.

Praktische Anwendungen der Trigonometrie

Wir haben bisher besprochen, dass wir mit Hilfe der Trigonometrie - vereinfacht gesagt - fehlende (d.h. noch unbekannte) Größen eines Dreiecks berechnen können. Doch welche praktische Bedeutung hat das?

Im Laufe der Jahrhunderte spielte die Trigonometrie vor allem in der Astronomie, der Vermessungskunde sowie der Navigation (z.B. von Schiffen) eine Rolle. Noch heute kommt ihr eine große Bedeutung zu, auch wenn die eigentliche Berechnung meist der Computer übernimmt.

Das Hauptproblem bestand meist darin, nicht direkt messbare Entfernungen zu berechnen.

Eine nicht direkt messbare Entfernung ist zum Beispiel die Höhe eines Gebäudes. Um diese Höhe zu bestimmen, genügt es, die Entfernung vom Beobachtungspunkt zum Fußpunkt des Gebäudes zu kennen und den Winkel zwischen ihm und der Spitze des Bauwerks zu messen. Mit Hilfe dieser beiden Größen und einigen trigonometrischen Kenntnissen lässt sich dann leicht, die Höhe des Gebäudes berechnen.

Trigonometrie: Die Winkelfunktionen

Im ersten Abschnitt dieses Kapitel haben wir uns mit der theoretischen Seite der Trigonometrie beschäftigt. Es wird Zeit, dass wir endlich praktische Berechnungen durchführen. Dazu müssen wir uns mit den Winkelfunktionen auseinandersetzen. Die Winkelfunktionen (auch trigonometrische Funktionen genannt) sind das mathematische Fundament auf dem die Trigonometrie aufgebaut ist.

Die Trigonometrie ist die Lehre von der Dreiecksberechnung mit Hilfe von Winkelfunktionen.

Um den Rahmen dieses Kapitels nicht zu sprengen, behandeln wir die Winkelfunktionen in einem eigenen, ausführlichen Artikel.

Mehr zur Trigonometrie

In den folgenden Kapiteln findest du mehr Informationen zur Trigonometrie.

Grundlagen  
Winkelfunktionen  
Einheitskreis  
Winkelfunktionen  
Sinus \(\sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\)
Cosinus \(\cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\)
Tangens \(\tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\)
Kehrwerte  
Cosekans \(\csc \alpha = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Gegenkathete}} = \frac{1}{\sin \alpha}\)
Sekans \(\sec \alpha = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}} \phantom{1\:} = \frac{1}{\cos \alpha}\)
Cotangens \(\cot \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}= \frac{1}{\tan \alpha}\)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!