Umkehrfunktion

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Umkehrfunktion ist.

Problemstellung

Gegeben ist der Funktionswert \(y\) einer Funktion. Gesucht ist der dazugehörige \(x\)-Wert.

Beispiel

Du bist im Urlaub in den USA und willst Euro (€) in US-Dollar ($) umtauschen.

Der Wechselkurs lässt sich durch folgende Funktion darstellen:
\(f\colon\; \text{Euro } x \longmapsto \text{US-Dollar } y\)
Die Funktion \(f\) ordnet jedem Euro-Betrag \(x\) einen Betrag \(y\) in Dollar zu.

Beim Shopping in New York entdeckst du ein schönes Smartphone.
Du fragst dich, welchem Euro-Betrag der angegebene Preis entspricht.

Der Wechselkurs lässt sich durch folgende Funktion darstellen:
\(f^{-1}\colon\; \text{US-Dollar } y \longmapsto \text{Euro } x\)
Die Funktion \(f^{-1}\) ordnet jedem Dollar-Betrag \(y\) einen Betrag \(x\) in Euro zu.

\(f^{-1}\) heißt Umkehrfunktion von \(f\).

Umkehrfunktion bilden

Vorgehensweise

  1. Funktionsgleichung nach \(x\) auflösen
  2. \(x\) und \(y\) vertauschen

Beispiel

Gesucht ist die Umkehrfunktion von \(f\colon\; y = 2x\).

1.) Funktionsgleichung nach \(x\) auflösen

\(\begin{align*}
y &= 2x &&{\color{gray}| :2}\\[5pt]
\frac{1}{2}y &= x &&{\color{gray}| \text{ Seiten vertauschen}}\\[5pt]
x &= \frac{1}{2}y
\end{align*}\)

2.) \(x\) und \(y\) vertauschen

\(y = \frac{1}{2}x\)

Die Umkehrfunktion von \(f\colon\; y = 2x\) ist \(f^{-1}\colon\; y = \frac{1}{2}x\).

Wir zeichnen \(f\) und \(f^{-1}\) aus dem Beispiel in ein Koordinatensystem ein:


Die Abbildung zeigt folgende Graphen:
- Funktion \(f\colon\; y = 2x\)
- Winkelhalbierende \(w\colon\; y = x\)
- Umkehrfunktion \(f^{-1}\colon\; y = \frac{1}{2}x\)

Ist dir aufgefallen, dass die Graphen von \(f\) und \(f^{-1}\) symmetrisch zueinander sind?

Der Graph der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) entsteht aus der Funktion \(f\) durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden \(w\) mit der Gleichung \(y = x\).

Da bei der Umkehrfunktion im Vergleich zur zugehörigen Funktion \(x\) und \(y\) vertauscht sind, gilt:

  • Definitionsmenge der Umkehrfunktion \(\mathbb{D}_{f^{-1}}\) = Wertemenge der Funktion \(\mathbb{W}_{f}\)
  • Wertemenge der Umkehrfunktion \(\mathbb{W}_{f^{-1}}\) = Definitionsmenge der Funktion \(\mathbb{D}_{f}\)

Definition der Umkehrfunktion

Grundsätzlich gilt: Nicht jede Funktion besitzt eine Umkehrfunktion.
Das führt uns zur Frage nach der Definition der Umkehrfunktion.

Wiederholung: Funktion

Eine Funktion ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zuordnet. Mathematiker formulieren das so:

Eine Funktion \(f\) ist eine Zuordnung, bei der
jedem Element \(x\) der Definitionsmenge \(D\)
genau ein Element \(y\) der Wertemenge \(W\)
zugeordnet ist.

Kurzschreibweise: \(f\colon\; D \rightarrow W\)

Um die Definition besser zu verstehen, schauen wir uns anhand einiger Abbildungen an,
was eine Funktion und was keine Funktion ist.

Beispiel 1

Bei \(f\colon\; A \rightarrow B\) handelt es sich um eine Funktion, da jedem Element \(x\) der Menge \(\text{A}\) genau ein Element \(y\) der Menge \(\text{B}\) zugeordnet ist.

Beispiel 2

Bei \(f\colon\; A \rightarrow B\) handelt es sich um keine Funktion, da dem Element \(c\) der Menge \(\text{A}\) zwei Elemente (\(g\) und \(h\)) der Menge \(\text{B}\) zugeordnet sind.

Beispiel 3

Bei \(f\colon\; A \rightarrow B\) handelt es sich um eine Funktion, da jedem Element \(x\) der Menge \(\text{A}\) genau ein Element \(y\) der Menge \(\text{B}\) zugeordnet ist.

Dass sich einem Element aus der Menge \(\text{B}\) zwei Elemente der Menge \(\text{A}\) zuordnen lassen, spielt keine Rolle. Es handelt sich laut Definition trotzdem um eine Funktion.

Voraussetzung: Umkehrfunktion

Eine Funktion \(f\) besitzt eine Umkehrfunktion \(f^{-1}\), wenn
jedem Element \(y\) der Wertmenge \(W\)
genau ein Element \(x\) der Definitionsmenge \(D\)
zugeordnet ist.

Kurzschreibweise: \(f^{-1}\colon\; W \rightarrow D\)

Um die Definition besser zu verstehen, schauen wir uns anhand einiger Abbildungen an,
wann eine Funktion eine Umkehrfunktion besitzt und wann nicht.

Beispiel 1

Bei \(f\colon\; A \rightarrow B\) handelt es sich um eine Funktion, da jedem Element \(x\) der Menge \(\text{A}\) genau ein Element \(y\) der Menge \(\text{B}\) zugeordnet ist.

Bei \(f^{-1}\colon\; B \rightarrow A\) handelt es sich um die Umkehrfunktion, da jedem Element \(y\) der Menge \(\text{B}\) genau ein Element \(x\) der Menge \(\text{A}\) zugeordnet ist.

Beispiel 2

Bei \(f\colon\; A \rightarrow B\) handelt es sich um eine Funktion, da jedem Element \(x\) der Menge \(\text{A}\) genau ein Element \(y\) der Menge \(\text{B}\) zugeordnet ist.

Bei \(f^{-1}\colon\; B \rightarrow A\) handelt es sich um keine Umkehrfunktion, da dem Element \(h\) der Menge \(B\) zwei Elemente (\(c\) und \(d\)) der Menge \(A\) zugeordnet sind.

Die Funktion \(f\) besitzt keine Umkehrfunktion!

Nach dieser mengentheoretischen Betrachtung wird es langsam Zeit, dass wir uns ein paar konkrete Funktionen anschauen, die umkehrbar bzw. nicht umkehrbar sind.


Die Abbildung zeigt den Graphen der
linearen Funktion \(f(x) = x\).

Lineare Funktionen besitzen die Eigenschaft, dass jedem \(y\) ein \(x\) eindeutig zugeordnet ist.

Daraus folgt, dass \(f(x) = x\) für \(x \in \mathbb{R}\)
umkehrbar ist.


Die Abbildung zeigt den Graphen der
quadratischen Funktion \(f(x) = x^2\).

Quadratische Funktionen besitzen die Eigenschaft, dass jedem \(y\) zwei \(x\) zugeordnet sind. Beispielsweise gehören zu dem \(y\)-Wert \(y = 4\) die \(x\)-Werte \(x = -2\) und \(x = 2\).

Daraus folgt, dass \(f(x) = x^2\) für \(x \in \mathbb{R}\)
nicht umkehrbar ist.

Wenn wir im obigen Beispiel jedoch die Definitionsmenge so beschränken, dass die Funktion im betrachteten Intervall entweder nur steigt (rechter Parabelast) oder nur fällt (linker Parabelast), ist wieder jedem \(y\) ein \(x\) eindeutig zugeordnet und die Funktion somit umkehrbar. Allgemein gilt:

Jede streng monoton steigende oder fallende Funktion ist umkehrbar.

Anschaulich erkennt man die Umkehrbarkeit einer Funktion \(f\) daran, dass jede Parallele zur x-Achse den Graph von \(f\) höchstens einmal schneidet.

Funktionen und ihre Umkehrfunktionen

In der folgenden Tabelle sind einige Funktionen und ihre Umkehrfunktionen zusammengestellt:

Funktion
\(f\colon\, D \to W\)
Definitionsmenge
\(D\)
Wertemenge
\(W\)
Umkehrfunktion
\(f^{-1}\colon\; W \to D\)
\(y = ax\) mit \(a \in \mathbb{R}\backslash\{0\}\)
(Lineare Funktionen)
\(\mathbb{R}\) \(\mathbb{R}\) \(y = \frac{1}{a}x\)
\(y = x^2\)
(Quadratische Funktionen)
[1] \(\mathbb{R}^{+}_{0}\)
[2] \(\mathbb{R}^{-}_{0}\)
[1] \(\mathbb{R}^{+}_{0}\)
[2] \(\mathbb{R}^{+}_{0}\)
[1] \(y = \sqrt{x}\)
[2] \(y = -\sqrt{x}\)
\(y = x^n\) mit \(n \in \mathbb{N}\backslash\{1\}\)
(Potenzfunktionen)
\(\mathbb{R}^{+}_{0}\) \(\mathbb{R}^{+}_{0}\) \(y = \sqrt[n]{x}\)
(Wurzelfunktionen)
\(y = a^x\) mit \(a \in \mathbb{R}^{+}\backslash\{1\}\)
(Exponentialfunktionen)
\(\mathbb{R}\) \(\mathbb{R}^{+}\) \(y = \log_{a}{x}\)
(Logarithmusfunktionen)
\(y = e^x\)
(e-Funktion)
\(\mathbb{R}\) \(\mathbb{R}^{+}\) \(y = \ln(x)\)
(ln-Funktion)
\(y = \sin(x)\)
(Sinus)
\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) \([-1,1]\) \(y = \arcsin(x)\)
(Arkussinus)
\(y = \cos(x)\)
(Kosinus)
\([0,\pi]\) \([-1,1]\) \(y = \arccos(x)\)
(Arkuskosinus)
\(y = \tan(x)\)
(Tangens)
\(]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\) \(\mathbb{R}\) \(y = \arctan(x)\)
(Arkustangens)

Die Umkehrfunktion der Umkehrfunktion ist die ursprüngliche Funktion: \((f^{-1})^{-1} = f\).

Vertiefende Themen

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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