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Ungleichungen

Dieser Artikel soll einen ersten Einblick in das Thema Ungleichungen gegeben.
Was sind Ungleichungen, wie sehen sie aus und welche Typen gibt es?

Wiederholung: Was sind Gleichungen?

Eine Gleichung ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme.
Gleichungen sind am Gleichheitszeichen ("\(=\)") zu erkennen.

Beispiele

\(3 = 3\)

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

\(y = x^2 - 5 \)

Was sind Ungleichungen?

Jede Ungleichung besteht aus zwei Termen, die durch eines der Vergleichzeichen
\(<\) (Kleinerzeichen),
\(\leq\) (Kleinergleichzeichen),
\(>\) (Größerzeichen) oder
\(\geq\) (Größergleichzeichen)
verbunden sind.

Beispiele

\(3 < 4\)

\(x \geq 3,75\)

\((a+b) > (c+d)\)

Ungleichungen dienen der Formulierung und Untersuchung von Größenvergleichen.

Ungleichungen und Vergleichszeichen

  Ungleichung richtig aussprechen Bedeutung
\(a < b\) "a kleiner b" a ist kleiner als b.
\(a \leq b\) "a kleiner gleich b" a ist kleiner oder gleich b.
\(a > b\) "a größer b" a ist größer als b.
\(a \geq b\) "a größer gleich b" a ist größer oder gleich b.

Merkhilfe: Der "Winkelhaken" ist immer nach der größeren Seite hin geöffnet. In der Grundschule stellt man sich diesen "Winkelhaken" auch als Krokodilmaul vor und da das Krokodil schlau ist, frisst es immer den größeren Teil.

Ungleichungen: Eigenschaften

  1. \(a \leq a\) (Reflexivität)

  2. Ist \(a > b\) und \(b > c\), dann ist \(a > c\) (Transitivität)
    Die anderen Rechenzeichen sind ebenfalls transitiv.

  3. Ist \(a \leq b\) und \(b \leq a\), dann gilt \(a = b\) (Antisymmetrie)

Ungleichungen: Rechenregeln

  • Eine Ungleichung kann von beiden Seiten gelesen werden
    \(a < b \quad \longleftrightarrow \quad b > a\)

  • Auf beiden Seiten einer Ungleichung darf dieselbe Zahl addiert werden
    \(a \leq b \quad \Rightarrow \quad a+c \leq b+c\)

  • Zwei gleichgerichtete Ungleichungen dürfen addiert werden
    \(a \leq b \quad\text{und}\quad c \leq d \quad \Rightarrow \quad a+c \leq b+d\)
    \(a < b \quad\text{und}\quad c \leq d \quad \Rightarrow \quad a+c < b+d\)

  • Eine Ungleichung darf mit einer nichtnegativen (!) Zahl multipliziert werden
    \(a \leq b \quad\text{und}\quad c \geq 0 \quad \Rightarrow \quad ac \leq bc\)

  • WICHTIG:
    Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert,
    so dreht sich das Ungleichheitszeichen um
    \(a \leq b \quad\text{und}\quad c \leq 0 \quad \Rightarrow \quad ac \geq bc\)

  • Wenn die Seiten der Ungleichung entweder beide positiv oder beide negativ sind, gilt:
    Bildet man auf beiden Seiten einer Ungleichung den Kehrwert,
    so dreht sich das Ungleichheitszeichen um
    \[a \leq b \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{a} \geq \frac{1}{b}\]

Ungleichungen lösen

Enthält eine Ungleichung eine (oder mehrere) Unbekannte, so bezeichnet man die Suche nach einer Lösung für die Unbekannte auch als das "Lösen von Ungleichungen".

Wusstest du schon, dass du mit deinem Casio Taschenrechner auch Ungleichungen lösen kannst?

Mehr zum Thema Ungleichungen

Im Zusammenhang mit Ungleichungen gibt es einige Aufgabenstellungen, die immer wieder abgefragt werden. Daher lohnt es sich, auch folgende Artikel durchzulesen.

  Beispiel
Lineare Ungleichungen
(mit einer Variablen)
\(10x - 8 \leq 3x + 4\)
Lineare Ungleichungssysteme
(mit einer Variablen)
\[\begin{align*}
2x - 4 &< 6 \\
3x + 5 &> 2
\end{align*}\]
Lineare Ungleichungen
(mit zwei Variablen)
\(5x - 3y > 10\)
Lineare Ungleichungssysteme
(mit zwei Variablen)
\[\begin{align*}
2x + y &\leq 12 \\
2x + 3y &\leq 18
\end{align*}\]
Quadratische Ungleichungen \(x^2 - x + 3\geq 4x - 5\)
Gebrochenrationale Ungleichungen \(\frac{1}{x +1} > 7\)
Betragsungleichungen \(|x + 1| < 3\)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!