Variation ohne Wiederholung

Die Kombinatorik hilft bei der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen (Permutationen) oder Auswahlen (Variationen oder Kombinationen) von Objekten. In diesem Kapitel schauen wir uns die Variation ohne Wiederholung an, die folgende Frage beantwortet: Wie viele Möglichkeiten gibt es, $\boldsymbol{k}$ Kugeln aus einer Urne mit $\boldsymbol{n}$ Kugeln unter Beachtung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen zu ziehen?

Definition 

Formel 

Herleitung

Wir wollen $k$ aus $n$ Objekten unter Beachtung der Reihenfolge und ohne Wiederholung (im Urnenmodell: ohne Zurücklegen) auswählen.

Für das erste Objekt gibt es $n$ Auswahlmöglichkeiten. Für das zweite Objekt verbleiben $(n-1)$ Möglichkeiten, für das dritte Objekt $(n-2)$…und für das letzte Objekt verbleiben noch $(n-k+1)$ Möglichkeiten.

In Formelsprache:

$$ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) $$

Der Anfang ähnelt der Formel für die Fakultät $n!$.

Wir erinnern uns:

$$ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 1 $$

Die Formel für die Variation ohne Wiederholung endet jedoch nicht mit dem Faktor $1$, sondern bereits mit dem Faktor $(n-k+1)$. Dieses verkürzte Produkt entsteht also aus $n!$ durch Weglassen des nachfolgenden Produktes

$$ (n-k) \cdot (n-k-1) \cdot \ldots \cdot 1 = (n-k)! $$

Dieses Weglassen erreichen wir in unserer Formel durch die Division von $n!$ durch $(n-k)!$:

$$ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} $$

Wie die Beispiele im nächsten Abschnitt zeigen werden, bewirkt der Ausdruck $(n-k)!$ ein Kürzen des Bruchs.

Variation ohne Wiederholung in den Taschenrechner eingeben

Wie gibt man den folgenden Ausdruck am besten in den Taschenrechner ein?

$$ \frac{15!}{(15-4)!} $$

Bei den meisten Taschenrechner gibt es dafür die nPr-Taste.

Beispiel Casio: [1][5] [Shift][X] [4] [=] 32760

Beispiele