Vektor

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Vektor ist.

Einleitung

David und Anna möchten gemeinsam ins Kino gehen.

David: „Wo treffen wir uns?“
Anna: „Wir treffen uns in 500 m Entfernung von hier.“

Die Aussage „Wir treffen uns in 500 m Entfernung von hier“ wird nicht zu einem erfolgreichen Zusammentreffen führen, da eine Richtungsangabe fehlt: David weiß nicht, in welche Richtung er 500 m gehen soll.

Befinden sich David und Anna zum Beispiel am Punkt \(A\) und gilt \(\overline{AB} = \overline{AC} = 500 \text{ m}\), dann könnte Anna sowohl den Punkt \(B\) als auch den Punkt \(C\) meinen.

Wir nehmen an, dass Anna sich mit David am Punkt \(B\) treffen will. In der Abbildung können wir das durch eine Verbindungslinie zwischen den Punkten \(A\) und \(B\) veranschaulichen.

Aus der Darstellung geht allerdings nicht nicht hervor, ob David die Strecke von \(A\) nach \(B\) oder von \(B\) nach \(A\) zurücklegen muss.

Durch Ergänzen einer Pfeilspitze geben wir der Strecke eine sog. „Orientierung“. Jetzt können wir anhand der Abbildung sofort erkennen, dass David von \(A\) nach \(B\) gehen muss.

Eine Strecke mit einem Anfangs- und einem Endpunkt heißt orientierte Strecke und wird graphisch durch einen Pfeil dargestellt.

Definition

Eine Größe, zu deren vollständiger Beschreibung neben einer Zahl noch die Angabe ihrer Richtung und Orientierung erforderlich ist, heißt Vektor.

Bei physikalischen Größen gehört zur vollständigen Beschreibung noch die Angabe der Einheit.

Wortherkunft

Das Wort „Vektor“ stammt aus dem Lateinischen und bedeutet so viel wie „Träger“, „Fahrer“ - aber auch „Passagier“. Im ursprünglichen Sinn steht das Wort also in einer Beziehung zu dem Vorgang, der eine Person oder ein Objekt von einem Ort zu einem anderen Ort transportiert.

Schreibweise

Vektoren werden meist mit Kleinbuchstaben mit darüberliegendem Pfeil (z.B. \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c},\dots\)) oder durch die Angabe von Anfangs- und Endpunkt (z.B. \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{QP}, \dots\)) bezeichnet.

Sprechweise

\(\vec{a}\) lesen wir als „Vektor a“, \(\overrightarrow{AB}\) entsprechend als „Vektor A B“.

Beispiele für Vektoren aus der Physik

  • Strecke (Weg) \(\vec{s}\)
  • Kraft \(\vec{F}\)
  • Geschwindigkeit \(\vec{v}\)
  • Beschleunigung \(\vec{a}\)

Unterschied zwischen Vektor und Skalar

Von Vektoren (gerichteten Größen) sind Skalare (ungerichtete Größen) zu unterscheiden, die allein schon durch die Angabe einer Zahl vollständig beschrieben und charakterisiert sind.

Graphische Darstellung von Vektoren

Ein Vektor ist durch Länge, Richtung und Orientierung eindeutig bestimmt.

Das Wort „Richtung“ hat hier eine etwas andere Bedeutung als im alltäglichen Sprachgebrauch.

„Richtung“ im echten Leben

In unserem Alltag unterscheiden wir „Norden“ und „Süden“ als entgegengesetzte Richtungen. Aus diesem Grund nehmen wir intuitiv an, dass eine Gerade zwei Richtungen besitzt.

„Richtung“ in der Mathematik

Ein Mathematiker versteht unter der „Richtung einer Geraden“ das, was allen untereinander parallelen Geraden gemeinsam ist. Für ihn hat eine Gerade also nur eine Richtung.

Allerdings können wir auf einer Richtung zwei Orientierungen voneinander unterscheiden.

Wir halten fest, dass in der Mathematik das Wort „Richtung“ - im Gegensatz zum alltäglichen Sprachgebrauch - die „Orientierung“ nicht einschließt. Welchen Einfluss die „Orientierung“ auf das Rechnen mit Vektoren hat, werden wir gleich genau unter die Lupe nehmen.

Graphische Darstellung eines Vektors

Ein Vektor kann als
orientierte Strecke („Pfeil“)
dargestellt werden.

Geometrische Merkmale eines Pfeils sind:
- Pfeillänge  = Länge des Vektors
- Pfeilschaft = Richtung des Vektors
- Pfeilspitze = Orientierung des Vektors

Die Orientierung eines Vektors gibt an, nach welcher Seite der Richtung positiv zu rechnen ist.

„Orientierung“ in der Mathematik

Die Pfeilspitze in Richtung \(B\) bedeutet,
dass wir von \(A\) nach \(B\) positiv
(und von \(B\) nach \(A\) negativ)
rechnen.

Ist \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\), dann ist \(\overrightarrow{BA}=-\vec{a}\).

\(-\vec{a}\) heißt Gegenvektor von \(\vec{a}\).

Eine Parallelverschiebung des Vektors ändert seine Länge, Richtung und Orientierung nicht.
Aus dieser Tatsache können wir folgern, dass die Lage eines Vektors beliebig ist.

Gleichheit von Vektoren

Die Menge aller Pfeile, die

- gleich lang,           (Länge)
- parallel und           (Richtung)
- gleich orientiert     (Orientierung)

sind, heißt Vektor.

Alle Pfeile, die die obigen drei Eigenschaften erfüllen, bezeichnen wir als parallelgleich.

Die Menge aller parallelgleicher Pfeile heißt Vektor.

Jeder einzelne Pfeil dieser Menge heißt Repräsentant des Vektors. Wir können stets nur Pfeile als Repräsentanten des Vektors zeichnen, niemals jedoch den Vektor selbst. Der Einfachheit halber werden die einzelnen Pfeile oftmals auch als Vektoren bezeichnet.

Vektoren mit gemeinsamen Eigenschaften

Für Vektoren, die sich nur bestimmte Eigenschaften teilen, gibt es besondere Bezeichnungen.

Gegenvektor

Ein Vektor \(\vec{b}\) heißt Gegenvektor zu einem Vektor \(\vec{a}\), wenn \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) zueinander parallel, gleich lang und entgegengesetzt orientiert sind.

Es gilt: \(\vec{b}=-\vec{a}\).

Parallele Vektoren

Zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) heißen parallel,
wenn sie die gleiche Richtung haben.

Symbolische Schreibweise: \(\vec{a}\parallel\vec{b}\)

Parallele Vektoren können wir unterschieden in
- gleichsinnig parallele Vektoren (\(\vec{a}\uparrow\uparrow\vec{b}_1\)) und
- gegensinnig parallele Vektoren (\(\vec{a}\uparrow\downarrow\vec{b}_2\)).

Koordinatendarstellung von Vektoren

Im Folgenden beschränken wir uns der Einfachheit halber auf den zweidimensionalen Raum.

Um mit Vektoren praktisch rechnen zu können, ist eine Koordinatendarstellung zweckmäßig. In der Schule lernen wir das kartesische Koordinatensystem kennen, mit dessen Hilfe wir die Lage jedes Punktes in der Ebene durch seine beiden kartesischen Koordinaten beschreiben können.

\(A(x|y)\) ist die Koordinatendarstellung eines Punktes.

Punkt


Der Punkt \(A(3|2)\) ist
\(3\) Längeneinheiten in \(x\)-Richtung und
\(2\) Längeneinheiten in \(y\)-Richtung
vom Koordinatenursprung \(O(0|0)\) entfernt.

Zur Unterscheidung von Punktkoordinaten schreiben wir Vektorkoordinaten untereinander.

\(\vec{a} = \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}\) ist die Koordinatendarstellung eines Vektors.

Vektor


Der Vektor \(\vec{a}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2\end{pmatrix}\) beschreibt
die Menge aller Pfeile, deren Endpunkte
\(3\) Längeneinheiten in \(x\)-Richtung und
\(2\) Längeneinheiten in \(y\)-Richtung
vom Anfangspunkt entfernt sind.

In vielen Aufgabenstellungen geht es darum, die Koordinatendarstellung des Vektors, der zwei gegebene Punkte miteinander verbindet, zu bestimmen. Das ist besonders einfach, wenn der Anfangspunkt des Vektors im Koordinatenursprung \(O(0|0)\) des Koordinatensystems liegt.

Ein Vektor,
dessen Anfangspunkt im Ursprung \(O\) und
dessen Endpunkt im Punkt \(A\) liegt,
heißt Ortsvektor \(\overrightarrow{OA}\) von \(A\).

Ortsvektor

Der Ortsvektor \(\overrightarrow{OA}\) von \(A\)
hat dieselben Koordinaten wie \(A\):
\(A(x|y) \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\).

Für \(A(3|2)\) gilt:
\(A(3|2) \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\).

Liegt der Anfangspunkt nicht im Ursprung, kommen wir um eine Berechnung nicht herum.

Ein Vektor,
der zwei beliebige Punkte \(P\) und \(Q\) miteinander verbindet,
heißt Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PQ}\) von \(P\) und \(Q\).

Der Verbindungsvektor berechnet sich nach der Formel „Endpunkt minus Anfangspunkt“.

Verbindungsvektor

Die Koordinaten des Verbindungsvektors \(\overrightarrow{PQ}\) entsprechen den Koordinatendifferenzen der beiden Punkte \(P(x_P|y_P)\) und \(Q(x_Q|y_Q)\):
\(\overrightarrow{P{\color{red}Q}} = \begin{pmatrix} {\color{red}x_Q}-x_P \\ {\color{red}y_Q}-y_P \end{pmatrix}\).

Für \(P(2|4)\) und \(Q(5|6)\) gilt:
\(\overrightarrow{P{\color{red}Q}} = \begin{pmatrix} {\color{red}5}-2 \\ {\color{red}6}-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\).

Jeder Ortsvektor kann als spezieller Verbindungsvektor (mit Anfangspunkt \(O\)) gedeutet werden.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!