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Vielfachheit von Nullstellen

In diesem Kapitel sprechen wir über die Vielfachheit von Nullstellen. Dabei interessiert uns, wie man die Vielfachheit einer Nullstelle berechnet und wie sich verschiedene Vielfachheiten in einem Koordinatensystem voneinander unterscheiden.

Unter einer Nullstelle versteht man jene x-Werte, die eingesetzt in die Funktion den Funktionswert Null liefern.

Der Ansatz zur Berechnung einer Nullstelle lautet folglich: \(f(x) = 0\).

Im vorherigen Artikel haben wir ausführlich besprochen, wie man Nullstellen berechnet.

Ist zum Beispiel die Funktion

\(f(x) = x - 5\)

gegeben, so müssen wir

  1. die Funktion \(f(x)\) gleich Null setzen
  2. die Gleichung nach \(x\) auflösen

Angewendet auf unser Beispiel erhalten wir somit

  1. \(f(x) = x - 5 = 0\)
  2. \(x - 5 = 0 \qquad \rightarrow \quad x = 5\)

Jetzt wissen wir, dass die Funktion \(f(x) = x - 5\) bei \(x = 5\) eine Nullstelle hat.

Die Vielfachheit einer Nullstelle gibt an, wie oft eine bestimmte Nullstelle bei einer Funktion vorkommt.

Im obigen Beispiel haben wir die Nullstelle \(x = 5\) berechnet. Diese Nullstelle kommt in der Funktion nur einmal vor. Aus diesem Grund handelt es sich um eine einfache Nullstelle. Man sagt, die Nullstelle hat die Vielfachheit 1.

Was ist aber mit der Funktion \(f(x) = (x-5)^2\)?

Unter Beachtung der Potenzgesetze können wir die Funktion in zwei Faktoren zerlegen:

\(f(x) = (x-5)^2 = (x-5) \cdot (x-5)\)

Jetzt können wir ohne großen Rechenaufwand die Nullstellen bestimmen, denn ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren gleich Null wird, d.h. wir müssen uns nur überlegen, wann \(x-5\) gleich Null wird. Das wissen wir bereits aus dem ersten Beispiel! Für \(x = 5\). Wenn wir diese 5 in den ersten Faktor (also in die erste Klammer) einsetzen, liefert die Funktion einen Funktionswert von Null. Setzen wir die 5 in den zweiten Faktor (also in die zweite Klammer) ein, liefert die Funktion auch einen Funktionswert von Null. Was bedeutet das? Bei \(x = 5\) handelt es sich um eine zweifache Nullstelle. Man sagt, die Nullstelle hat die Vielfachheit 2.

Auf die gleiche Weise kann man zeigen, dass die Funktion

\(f(x) = (x-5)^3 = (x-5) \cdot (x-5) \cdot (x-5)\)

bei \(x = 5\) eine dreifache Nullstelle hat. Man sagt, die Nullstelle hat die Vielfachheit 3.

Entsprechend gibt es Funktionen mit vierfachen, fünffachen, sechsfachen usw. Nullstellen.

Graphische Bedeutung der Vielfachheit

Im letzten Abschnitt haben wir versucht, die Vielfachheit einer Nullstelle zu definieren. Außerdem haben wir uns angesehen, wie man die Vielfachheit ermittelt. Doch was sagt uns die Vielfachheit einer Nullstelle überhaupt?

In einer Nullstelle schneidet oder berührt der Graph einer Funktion die x-Achse.

Ob ein Schnittpunkt oder ein Berührpunkt vorliegt, lässt sich mit Hilfe der Vielfachheit leicht sagen:

Bei Nullstellen mit ungerader Vielfachheit handelt es sich um Schnittpunkte mit der x-Achse.

Bei Nullstellen mit gerader Vielfachheit handelt es sich um Berührpunkte mit der x-Achse.

Die Funktion
\(f(x) = x\)
besitzt an der Stelle
\(x = 0\)
eine einfache Nullstelle.
Man sagt, die Nullstelle hat die Vielfachheit 1.
Da die Vielfachheit ungerade ist, handelt es sich um einen Schnittpunkt.

Die Funktion
\(f(x) = x^2\)
besitzt an der Stelle
\(x = 0\)
eine zweifache Nullstelle.
Man sagt, die Nullstelle hat die Vielfachheit 2.
Da die Vielfachheit gerade ist, handelt es sich um einen Berührpunkt.

Die Funktion
\(f(x) = x^3\)
besitzt an der Stelle
\(x = 0\)
eine dreifache Nullstelle.
Man sagt, die Nullstelle hat die Vielfachheit 3.
Da die Vielfachheit ungerade ist, handelt es sich um einen Schnittpunkt.

Die Funktion
\(f(x) = x^4\)
besitzt an der Stelle
\(x = 0\)
eine vierfache Nullstelle.
Man sagt, die Nullstelle hat die Vielfachheit 4.
Da die Vielfachheit gerade ist, handelt es sich um einen Berührpunkt.

Alle Freunde der Kurvendiskussion können aus der Vielfachheit einer Nullstelle noch weitere interessante Informationen ablesen:

An Nullstellen mit ungerader Vielfachheit tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Ist die Vielfachheit größer als 1, liegt dort ein Sattelpunkt vor.

An Nullstellen mit gerader Vielfachheit tritt kein Vorzeichenwechsel auf. Es liegt dort immer ein Extremum vor.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Vielfachheit einer Nullstelle zahlreiche Rückschlüsse auf den Verlauf eines Graphen liefert und sie deshalb im Rahmen einer Kurvendiskussion nützliche Dienste leistet.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!