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Wertebereich bestimmen

In diesem Kapitel werden wir den Wertebereich einiger Funktionen bestimmen. Häufig sagt man zu dem Wertebereich auch Wertemenge. Die beiden Begriffe haben dieselbe Bedeutung. Doch was versteht man eigentlich unter dem Wertebereich einer Funktion?

Der Wertebereich beantwortet die Frage:
"Welche y-Werte nimmt die Funktion an?"

Den Wertebereich einer Funktion \(f\) bezeichnet man mit \(W_f\).

Beispiel

Nehmen wir an, dass du die Funktion \(f(x) = x^2\) untersuchen sollst. In der Aufgabenstellung ist zusätzlich der Definitionsbereich angegeben: \(D_f = \{{\color{maroon}1},{\color{maroon}2},{\color{maroon}3},{\color{maroon}4},{\color{maroon}5}\}\). Der Definitionsbereich sagt uns in diesem Fall, dass wir nur die Werte 1, 2, 3, 4 und 5 in die Funktion \(f(x) = x^2\) einsetzen dürfen. Der Wertebereich entspricht der Menge von \(y\)-Werten, die man erhält, wenn man jedes \(x\) des Definitionsbereichs in die Funktion einsetzt:

\(f({\color{maroon}1}) ={\color{maroon}1}^2 ={\color{red}1}\)
\(f({\color{maroon}2}) ={\color{maroon}2}^2 ={\color{red}4}\)
\(f({\color{maroon}3}) ={\color{maroon}3}^2 ={\color{red}9}\)
\(f({\color{maroon}4}) ={\color{maroon}4}^2 ={\color{red}16}\)
\(f({\color{maroon}5}) ={\color{maroon}5}^2 ={\color{red}25}\)

Für den Wertebereich gilt demnach: \(W_f = \{{\color{red}1},{\color{red}4},{\color{red}9},{\color{red}16},{\color{red}25}\}\).

Wertebereich linearer Funktionen

Aus dem Kapitel Definitionsbereich bestimmen wissen wir, dass lineare Funktionen in ganz \(\mathbb{R}\) definiert sind. Für \(x\) können wir also jede reelle Zahl einsetzen. Bei den linearen Funktionen führt das dazu, dass jeder \(y\)-Wert angenommen wird. Für den Wertebereich gilt: \(W_f = \mathbb{R}\).

Schauen wir uns dazu ein Beispiel an:

Beispiel 1

Gegegeben ist der Graph der Funktion
\(f(x) = x + 2\).

Der Definitionsbereich der Funktion ist
\(D_f = \mathbb{R}\).

Der Wertebereich der Funktion ist
\(W_f = \mathbb{R}\).

Der Aufgabensteller kann den Definitionsbereich einer Funktion beliebig beschränken. Betrachten wir dazu wieder die Funktion aus Beispiel 1: \(f(x) = x + 2\). Dieses Mal ist der Definitionsbereich beschränkt auf: \(D_f = [{\color{maroon}1};{\color{maroon}5}]\). Wie berechnet sich jetzt der Wertebereich? Ganz einfach: Wir setzen zunächst die untere Grenze des Intervalls (\({\color{maroon}1}\)) in die Funktion ein, um den kleinsten \(y\)-Wert zu erhalten. Danach setzen wir die obere Grenze des Intervalls (\({\color{maroon}5}\)) in die Funktion ein, um den größten \(y\)-Wert zu erhalten.

\(f({\color{maroon}1}) ={\color{maroon}1} + 2 ={\color{red}3}\)
\(f({\color{maroon}5}) ={\color{maroon}5} + 2 ={\color{red}7}\)

Der kleinste \(y\)-Wert (\({\color{red}3}\)) und der größte \(y\)-Wert (\({\color{red}7}\)) sind die Grenzen des gesuchten Wertebereichs: \(W_f = [{\color{red}3},{\color{red}7}]\).

Graphisch entspricht der Definitionsbereich (= alle erlaubten \(x\)-Werte) der \(x\)-Achse.
Der Wertebereich (= alle möglichen \(y\)-Werte) lässt sich dagegen an der \(y\)-Achse ablesen.

Beispiel 2

Gegegeben ist der Graph der Funktion \(f(x) = x + 2\).

Der Definitionsbereich der Funktion ist
\(D_f = [1;5]\).

Der Wertebereich der Funktion ist
\(W_f = [3;7]\).

Wertebereich quadratischer Funktionen

Aus dem Kapitel Definitionsbereich bestimmen wissen wir, dass quadratische Funktionen in ganz \(\mathbb{R}\) definiert sind. Für \(x\) können wir also jede reelle Zahl einsetzen. Im Gegensatz zu den linearen Funktionen nehmen quadratische Funktionen aber grundsätzlich nicht jeden \(y\)-Wert an.

Für den Wertebereich einer quadratischen Funktion gilt

  • \(W_f = [{\color{red}y_s}; \infty[\), wenn das Vorzeichen von \(x^2\) positiv ist
  • \(W_f = ]-\infty;{\color{red}y_s}]\), wenn das Vorzeichen von \(x^2\) negativ ist

Dabei ist \({\color{red}y_s}\) die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts \(\text{S}(x_s|{\color{red}y_s})\).

In den folgenden Beispielen wird das Wissen aus dem Kapitel Scheitelpunkt berechnen vorausgesetzt. Bei der Bestimmung der Wertemenge gehen wir so vor:

  1. Vorzeichen von \(x^2\) ablesen
  2. Scheitelpunkt berechnen
  3. Wertebereich festlegen

Beispiel 1

Gegegeben ist der Graph der Funktion \(f(x) = x^2-6x+10\).

Der Definitionsbereich der Funktion ist
\(D_f = \mathbb{R}\).

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei
\(\text{S}(3|{\color{red}1})\).
Für den Wertebereich der Funktion gilt folglich:
\(W_f = [{\color{red}1};\infty[\).

Beispiel 2

Gegegeben ist der Graph der Funktion \(f(x) = -x^2+10x-23\).

Der Definitionsbereich der Funktion ist
\(D_f = \mathbb{R}\).

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei
\(\text{S}(5|{\color{red}2})\).
Für den Wertebereich der Funktion gilt folglich:
\(W_f = ]-\infty;{\color{red}2}]\).

Die Grenzen des Wertebereichs einer quadratischen Funktion hängen von zwei Faktoren ab:

  1. \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts
  2. Vorzeichen von \(x^2\)

Begründung: Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Der Scheitelpunkt der Parabel ist der Punkt, an dem der Graph der Funktion den höchsten \(y\)-Wert (= Hochpunkt) oder den niedrigsten \(y\)-Wert (= Tiefpunkt) annimmt. Ob es sich um einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt handelt, lässt sich an dem Vorzeichen von \(x^2\) in der Funktionsgleichung erkennen.

Wertebereich besonderer Funktionen

Um den Wertebereich einer Funktion zu bestimmen, muss man in den meisten Fällen die Extrempunkte (Hochpunkte, Tiefpunkte) berechnen und eine Grenzwertbetrachtung durchführen. Die Bestimmung des Wertebereichs ist deshalb oft Teil einer Kurvendiskussion.

In den folgenden Artikeln findest du ausführliche Beispiele zu diesem Thema:

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion \(f(x) = x^3 -6^2 + 8x\)
Kurvendiskussion einer gebrochenrationalen Funktion \(f(x) = \frac{x^2}{x+1}\)
Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion \(f(x) = (x+1) \cdot e^{-x}\)
Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion \(f(x) = x \cdot \ln x\)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!