Wertemenge

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter einer Wertemenge versteht. Manchmal spricht man auch von dem Wertebereich. Wenn du dich für die Berechnung der Wertemenge einer Funktion interessierst, dann lies dir den Artikel Wertebereich bestimmen durch.

Es empfiehlt sich, zunächst den Einführungsartikel zu den Funktionen durchzulesen.

Eine Funktion \(f\) ist eine Zuordnung, bei der
jedem Element \(x\) der Definitionsmenge \(D\)
genau ein Element \(y\) der Wertemenge \(W\)
zugeordnet ist.

Kurzschreibweise: \(f\colon\; D \to W\)

Eine Funktion besteht aus drei Teilen:

  • Funktionsgleichung
  • Definitionsmenge
  • Wertemenge

Beispiel einer Funktion

\(y = 2x, \quad D = \{1,2,3,4\}, \quad W = \{2,4,6,8\}\)

Erklärung

Bei \(y = 2x\) handelt es sich um die Funktionsgleichung der Funktion. Sie gibt an, was man mit einem \(x\)-Wert machen muss, um den dazugehörigen \(y\)-Wert zu erhalten: In diesem Fall muss jeder \(x\)-Wert mit 2 multipliziert werden.

Bei \(D = \{1,2,3,4\}\) handelt sich um die Definitionsmenge der Funktion. Sie gibt an, welche \(x\)-Werte in die Funktion eingesetzt werden dürfen: In diesem Fall darf man die Zahlen 1, 2, 3 und 4 für \(x\) einsetzen.

Bei \(W = \{2,4,6,8\}\) handelt es sich um die Wertemenge der Funktion. Sie gibt an, welche \(y\)-Werte die Funktion annehmen kann.

Zusammenhänge verstehen

Wenn wir nacheinander die Zahlen aus dem Definitionsbereich \(D = \{{\color{red}1},{\color{red}2},{\color{red}3},{\color{red}4}\}\) in die Funktionsgleichung \(y = 2x\) einsetzen, lässt sich Folgendes beobachten:

Gilt \(x ={\color{red}1}\), berechnet sich der zugehörige \(y\)-Wert zu: \(y = 2 \cdot{\color{red}1} ={\color{maroon}2}\).
Gilt \(x ={\color{red}2}\), berechnet sich der zugehörige \(y\)-Wert zu: \(y = 2 \cdot{\color{red}2} ={\color{maroon}4}\).
Gilt \(x ={\color{red}3}\), berechnet sich der zugehörige \(y\)-Wert zu: \(y = 2 \cdot{\color{red}3} ={\color{maroon}6}\).
Gilt \(x ={\color{red}4}\), berechnet sich der zugehörige \(y\)-Wert zu: \(y = 2 \cdot{\color{red}4} ={\color{maroon}8}\).

Setzt man alle Werte aus dem Definitionsbereich \(D = \{{\color{red}1},{\color{red}2},{\color{red}3},{\color{red}4}\}\) in die Funktionsgleichung \(y = 2x\) ein, erhält man die Wertemenge \(W = \{{\color{maroon}2},{\color{maroon}4},{\color{maroon}6},{\color{maroon}8}\}\).

In der linken Abbildung ist der Zusammenhang zwischen der Definitionsmenge und der Wertemenge noch einmal graphisch dargestellt. Die Funktionsgleichung ist dabei das Bindeglied zwischen den beiden Mengen:

\(\underbrace{\text{Definitionsmenge}}_{x\text{-Werte}} \underset{y~=~2x}{\longrightarrow} \underbrace{\text{Wertemenge}}_{y\text{-Werte}}\)

Meistens werden bei einer Funktion weder die Definitionsmenge noch die Wertemenge mit angegeben. Man kann dann davon ausgehen, dass die maximal mögliche Definitionsmenge (siehe Kapitel Definitionsbereich bestimmen) gemeint ist. Sobald die Definitionsmenge bestimmt ist, lässt sich die Wertemenge ganz leicht berechnen (siehe Kapitel Wertebereich bestimmen).

Schreibweisen der Wertemenge

Die formale Bezeichnung für eine Wertemenge ist \(W\) oder \(\mathbb{W}\).

Die Wertemenge einer Funktion \(f\) heißt \(W_f\). Hat die Funktion einen anderen Namen als \(f\) wie z. B. \(g\) oder \(h\), dann heißt die Wertemenge entsprechend \(W_g\) oder \(W_h\).

Es gibt zwei Möglichkeiten, um die Wertemenge einer Funktion anzugeben

  1. Mengenschreibweise
  2. Intervallschreibweise

Beispiele für die Mengenschreibweise

  • \(W = \mathbb{R}\)
    \(\hookrightarrow\) Die Wertemenge ist die Menge der reellen Zahlen.

  • \(W = \mathbb{R} \backslash \{-1\}\)
    \(\hookrightarrow W\) ist die Menge der reellen Zahlen ohne "-1".

  • \(W = \{1,5,7,8\}\)
    \(\hookrightarrow W\) ist die Menge der Zahlen 1, 5, 7 und 8.

  • \(W = \{x~|~-5 < x < 3\}\)
    \(\hookrightarrow W\) ist die Menge aller \(x\) für die gilt: \(x\) ist größer als -5 und kleiner als 3.

Beim letzten Beispiel bietet sich auch die Intervallschreibweise an.

Beispiele für die Intervallschreibweise

Eckige Klammern zeigen an, ob die Intervallgrenzen noch zum Intervall gehören oder nicht.

  • \(W = [-2,1]\)
    \(\hookrightarrow\) Die Wertemenge ist die Menge aller Zahlen zwischen -2 und 1.
           Das Intervall enthält sowohl -2 als auch 1.

  • \(W = [4,10[\)
    \(\hookrightarrow W\) ist die Menge aller Zahlen zwischen 4 und 10.
           Das Intervall enthält 4, aber nicht 10.

  • \(W = ]0,\infty[\)
    \(\hookrightarrow W\) ist die Menge aller Zahlen im Intervall von 0 bis unendlich.
           Das Intervall enthält die 0 in diesem Fall nicht. \(\infty\) gehört nie zum Intervall.

Mehr zum Thema Funktionen

Funktionen haben in der Mathematik eine große Bedeutung. Es verwundert deshalb nicht, dass sie oft Bestandteil von Prüfungen sind. In den folgenden Kapiteln wollen wir etwas tiefer in die Materie eintauchen und unsere Kenntnisse mit Hilfe von Beispielaufgaben erweitern:

Grundlagen  
Was sind Funktionen? \(f: D \rightarrow W\)
Bestandteile einer Funktion
 
Funktionsgleichung \(y = f(x)\)
Definitionsmenge \(D\) oder \(\mathbb{D}\)
Wertemenge \(W\) oder \(\mathbb{W}\)
Besondere Funktionen  
Konstante Funktionen \(f(x) = c\)
Lineare Funktionen \(f(x) = mx + n\)
Quadratische Funktionen \(f(x) = ax^2 + bx + c\)
Gebrochenrationale Funktionen \(f(x) = \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_ 0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_ 0}\)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!