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Wurzelexponenten erweitern

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Erweitern von Wurzelexponenten.

Es empfiehlt sich, zunächst den Einführungsartikel zum Thema Wurzeln zu lesen.

Vorgehensweise

Ein Wurzelexponent wird erweitert, indem man den Wurzelexponenten und den Exponenten des Radikanden mit dem gleichen Faktor \(p\) erweitert.

\(\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n{\color{red}p}]{a^{m{\color{red}p}}}\)

Beispiel 1

Erweitere die folgenden Wurzelexponenten um den Faktor 2.

\(\sqrt[4]{2^3} = \sqrt[4 \cdot {\color{red}2}]{2^{3 \cdot {\color{red}2}}} = \sqrt[8]{2^{6}}\)

\(\sqrt[3]{4^2} = \sqrt[3 \cdot {\color{red}2}]{4^{2 \cdot {\color{red}2}}} = \sqrt[6]{4^{4}}\)

\(\sqrt{3} = \sqrt[2]{3} = \sqrt[2 \cdot {\color{red}2}]{3^{{\color{red}2}}} = \sqrt[4]{3^{2}}\)

Beispiel 2

Erweitere die folgenden Wurzelexponenten alle auf den Wurzelexponenten 12.

\(\sqrt[4]{2^3} = \sqrt[4 \cdot {\color{red}3}]{2^{3 \cdot {\color{red}3}}} = \sqrt[{\color{green}12}]{2^{9}}\)

\(\sqrt[3]{4^2} = \sqrt[3 \cdot {\color{red}4}]{4^{2 \cdot {\color{red}4}}} = \sqrt[{\color{green}12}]{4^{8}}\)

\(\sqrt{3} = \sqrt[2]{3} = \sqrt[2 \cdot {\color{red}6}]{3^{{\color{red}6}}} = \sqrt[{\color{green}12}]{3^{6}}\)

Anwendung

Das Multiplizieren und Dividieren von Wurzeln ist nur möglich, wenn die Wurzeln den gleichen Wurzelexponenten haben. Sollte das nicht der Fall sein, müssen die Wurzeln zunächst entsprechend erweitert werden. Erst dann kann multipliziert oder dividiert werden.

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Mehr zur Wurzelrechnung

Im Zusammenhang mit Wurzeln sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:

Grundlagen  
Wurzeln \[\sqrt[n]{a}\]
> Quadratwurzel \[\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}\]
> Kubikwurzel \[\sqrt[3]{a}\]
Wurzelziehen \[\sqrt{a^2} = a\]
Teilweises Wurzelziehen \[\sqrt{a^3} = \sqrt{a^2 \cdot a} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = a\sqrt{a}\]
Wurzelexponenten erweitern \[\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n{\color{red}p}]{a^{m{\color{red}p}}}\]
Wurzelexponenten kürzen \[\sqrt[n\cancel{p}]{a^{m\cancel{p}}} = \sqrt[n]{a^m}\]
Wurzeln gleichnamig machen  
> Gleichnamige Wurzeln \(=\) gleicher Wurzelexponent
> Ungleichnamige Wurzeln \(=\) unterschiedlicher Wurzelexponent
Rechnen mit Wurzeln  
Wurzelgesetze Alle Wurzelgesetze im Überblick!
> Wurzeln addieren \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} + b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a + b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln subtrahieren \[a{\color{green}\sqrt[n]{x}} - b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a - b){\color{green}\sqrt[n]{x}}\]
> Wurzeln multiplizieren

a) Gleichnamige Wurzeln

\[\sqrt[{\color{green}n}]{a} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{b} = \sqrt[{\color{green}n}]{a \cdot b}\]

b) Ungleichnamige Wurzeln

\(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen

> Wurzeln dividieren

a) Gleichnamige Wurzeln

\[\frac{\sqrt[{\color{green}n}]{a}}{\sqrt[{\color{green}n}]{b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{a}{b}}\]

b) Ungleichnamige Wurzeln

\(\Rightarrow\) Wurzeln gleichnamig machen

> Wurzeln potenzieren \[(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\]
> Wurzeln radizieren \[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\]
Rationalmachen des Nenners  
Nenner rational machen \(=\) Wurzel im Nenner eines Bruchs eliminieren
Aufgaben mit Lösungen  
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Bei dem Thema Wurzelrechnung ist es besonders wichtig, zu jedem Aufgabentypen möglichst viele Übungsaufgaben zu berechnen. Schließlich gilt: "Übung macht den Meister!".

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!