Wurzelexponenten kürzen
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Kürzen von Wurzelexponenten.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Wurzel?
- Primfaktorzerlegung
Anwendung
Mit dem Kürzen des Wurzelexponenten will man eine Vereinfachung der Wurzel erreichen.
Satz
Ist ein Faktor $p$ sowohl im Wurzelexponenten als auch im Exponenten des Radikanden vorhanden, so kann mit dem Faktor $p$ gekürzt werden:
$$ \sqrt[n\cancel{p}]{a^{m\cancel{p}}} = \sqrt[n]{a^m} $$
Beispiele
Im 1. Schritt zerlegt man sowohl den Wurzelexponenten als auch den Exponenten des Radikanden in Primfaktoren. Im 2. Schritt kürzt man alle Faktoren, die sowohl im Wurzelexponenten als auch im Exponenten des Radikanden vorkommen.
Primfaktorzerlegung
Faktoren kürzen
Kürze $\sqrt[8]{2^{6}}$.
$$ \sqrt[8]{2^{6}} = \underbrace{\vphantom{\sqrt[\cancel{2} \cdot 2 \cdot 2]{2^{\cancel{2} \cdot 3}}}\sqrt[2 \cdot 2 \cdot 2]{2^{2 \cdot 3}}}_{\text{1. Schritt}} = \underbrace{\sqrt[\cancel{2} \cdot 2 \cdot 2]{2^{\cancel{2} \cdot 3}}}_{\text{2. Schritt}} = \sqrt[4]{2^3} $$
Kürze $\sqrt[12]{4^{8}}$.
$$ \sqrt[12]{4^{8}} = \underbrace{\vphantom{\sqrt[\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 3]{4^{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 2}}}\sqrt[2 \cdot 2 \cdot 3]{4^{2 \cdot 2 \cdot 2}}}_{\text{1. Schritt}} = \underbrace{\sqrt[\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 3]{4^{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 2}}}_{\text{2. Schritt}} = \sqrt[3]{4^{2}} $$
Kürze $\sqrt[3]{3^{9}}$.
$$ \sqrt[3]{3^{9}} = \underbrace{\vphantom{\sqrt[\cancel{3}]{3^{\cancel{3} \cdot 3}}}\sqrt[3]{3^{3 \cdot 3}}}_{\text{1. Schritt}} = \underbrace{\sqrt[\cancel{3}]{3^{\cancel{3} \cdot 3}}}_{\text{2. Schritt}} = 3^3 $$
Merke: Wenn man den Wurzelexponenten ganz wegkürzen kann, verschwindet die Wurzel.
