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y-Achsenabschnitt berechnen

In diesem Kapitel lernen wir, den y-Achsenabschnitt zu berechnen.

Im Rahmen einer Untersuchung einer Funktion (Kurvendiskussion) interessiert man sich häufig für den Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der y-Achse. Dabei gilt:

Die x-Koordinate eines Schnittpunktes mit der y-Achse ist Null.

Gegeben ist der Graph einer Funktion.

Die Koordinaten des Schnittpunktes mit der y-Achse lassen sich leicht ablesen: \(\text{S}({\color{red}0}|-3)\).

Da die x-Koordinate eines Schnittpunktes mit der y-Achse stets Null ist, wird meist nur nach der y-Koordinate gefragt. Diese y-Koordinate hat einen speziellen Namen:

Die y-Koordinate des Schnittpunktes eines Graphen mit der y-Achse bezeichnet man als y-Achsenabschnitt.

Der Typ der Funktion entscheidet, wie leicht/schwer es ist, den y-Achsenabschnitt zu berechnen.

y-Achsenabschnitt bei Potenzfunktionen

Bei Potenzfunktionen, zu denen lineare Funktionen, quadratischen Funktionen und kubische Funktionen gehören, lässt sich der y-Achsenabschnitt einfach in der Funktionsgleichung ablesen.

Beispiel 1

Gegeben ist der Graph der Funktion:
\(f(x) = x{\color{red} \: - \: 3}\)

Schnittpunkt mit der y-Achse:
\(\text{S}(0|{\color{red}-3})\)

y-Achsenabschnitt:
\(y = {\color{red}-3}\)

Beispiel 2

Gegeben ist der Graph der Funktion:
\(f(x) = x^2 {\color{red} \: - \: 4}\)

Schnittpunkt mit der y-Achse:
\(\text{S}(0|{\color{red}-4})\)

y-Achsenabschnitt:
\(y = {\color{red}-4}\)

Beispiel 3

Gegeben ist der Graph der Funktion:
\(f(x) = x^3-0,1x^2-5x{\color{red} \: + \: 2}\)

Schnittpunkt mit der y-Achse:
\(\text{S}(0|{\color{red}2})\)

y-Achsenabschnitt:
\(y = {\color{red}2}\)

y-Achsenabschnitt bei beliebigen Funktionen

Kann man den y-Achsenabschnitt nicht aus der Funktionsgleichung herauslesen, bedient man sich folgender Eigenschaft, um den y-Achsenabschnitt zu berechnen:

Der y-Achsenabschnitt entspricht dem \(y\)-Wert an der Stelle \(x = 0\).

Schauen wir uns dazu einige Beispiele an.

Gebrochenrationale Funktion

Gegeben ist die Funktion

\[f(x) = \frac{x^2 + 4}{x+1}\]

Wenn wir \(x = 0\) in die Funktion einsetzen

\[f({\color{red}0}) = \frac{{\color{red}0}^2 + 4}{{\color{red}0}+1} = \frac{4}{1} = 4\]

erhalten wir als y-Achsenabschnitt

\(y = 4\)

Natürliche Exponentialfunktion (e-Funktion)

Gegeben ist die Funktion

\(f(x) = e^x\)

Wenn wir \(x = 0\) in die Funktion einsetzen

\(f({\color{red}0}) = e^{{\color{red}0}} = 1\)

erhalten wir als y-Achsenabschnitt

\(y = 1\)

Hinweis: Laut den Potenzgesetzen gilt \(x^0 = 1\).

Natürlicher Logarithmus (ln-Funktion)

Beispiel 1

Gegeben ist die Funktion

\(f(x) = \ln(x)\)

Wenn wir \(x = 0\) in die Funktion einsetzen, stellen wir fest:

\(f({\color{red}0}) = \ln({\color{red}0})\)

Vorsicht! Die Definitionsmenge des natürlichen Logarithmus ist \(D = ]0;\infty[\).

Die Funktion ist also an der Stelle \(x = 0\) nicht definiert.

Beispiel 2

\(f(x) = \ln(x + 5)\)

Wenn wir \(x = 0\) in die Funktion einsetzen

\(f({\color{red}0}) = \ln({\color{red}0} + 5) = \ln(5) =1,61\)

erhalten wir als y-Achsenabschnitt

\(y = 1,61\)

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der y-Achsenabschnitt die y-Koordinate des Schnittpunktes eines Funktionsgraphen mit der y-Achse ist. Man berechnet den y-Achsenabschnitt, indem man \(x = 0\) in die Funktion einsetzt. Bei manchen Funktionen kann man den y-Achsenabschnitt direkt aus der Funktionsgleichung herauslesen.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!