Zeilenstufenform

Jede beliebige Matrix kann in Zeilenstufenform umgewandelt werden. Doch was ist diese Zeilenstufenform überhaupt und wie berechnet man sie?

Definition der Zeilenstufenform

Bevor wir die Zeilenstufenform definieren können, müssen wir einige Begriffe einführen.

Eine Nullzeile ist eine Zeile, in der nur Nullen stehen, die anderen Zeilen sind Nichtnullzeilen.

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

Im Beispiel ist die dritte Zeile eine Nullzeile. Die erste und zweite Zeile sind Nichtnullzeilen.

Das erste von Null verschiedene Element einer Nichtnullzeile nennen wir den Zeilenführer dieser Zeile.

\(\begin{pmatrix}{\color{red}1}& 2 & 3 & 4\\ 0 &{\color{red}6}& 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &{\color{red}7}& 8 & 1 \\ 0 & 0 &{\color{red}3}& 3 \end{pmatrix}\)

Die Zeilenführer sind im Beispiel rot markiert.

Jetzt können wir endlich die Zeilenstufenform definieren.

Eine Matrix ist in Zeilenstufenform, falls gilt:

  1. Alle Nichtnullzeilen stehen oberhalb aller Nullzeilen.
  2. Ein Zeilenführer steht stets in einer Spalte rechts vom Führer der Zeile darüber.
  3. Alle Einträge unterhalb des Zeilenführers sind Null.

\(\begin{pmatrix}{\color{red}1}& 2 & 3 & 4 & 1\\ 0 &{\color{red}6}& 7 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 &{\color{red}5}& 4 \\ 0 &0& 0 & 0 &{\color{red}7}\\ 0 & 0 &0& 0 & 0\end{pmatrix}\)

Beispiel einer Matrix in Zeilenstufenform

Charakteristisch für die Zeilenstufenform ist, dass die Zeilenführer wie Treppenstufen angeordnet sind - also nach unten wandern. Demnach kann in einer Spalte maximal ein Zeilenführer auftreten!

Praktische Bedeutung

Liegt eine Matrix in Zeilenstufenform vor, kann man ganz leicht den Rang der Matrix ablesen.

Berechnung der Zeilenstufenform

So weit, so gut. Jetzt wissen wir, was die Zeilenstufenform ist. Doch wie berechnet man sie?

Die Zeilenstufenform erhält man durch sog. "elementare Zeilenumformungen".

Man darf Zeilen...

  • vertauschen
  • mit einer Zahl multiplizieren
  • durch eine Zahl dividieren
  • addieren
  • subtrahieren

Kurz gesagt:
Verwende den Gauß-Algorithmus, um eine Matrix in Zeilenstufenform umzuwandeln!

Der Gauß-Algorithmus ist ein populäres Verfahren, welches ein Gleichungssystem bzw. eine Matrix in Zeilenstufenform umwandelt.

Wusstest du schon, dass du mit deinem Casio Taschenrechner auch eine Matrix in Zeilenstufenform bringen kannst?

Zeilenstufenform berechnen - Beispiel

Im Folgenden wird der Gauß-Algorithmus als bekannt vorausgesetzt.

Beispiel 1

\(\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} \underrightarrow{III) - I)} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \underrightarrow{II) + I)} \begin{pmatrix}{\color{red}2}& -1 & 0 \\ 0 &{\color{red}1}& -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

Beispiel 2

\(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & -6 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \underrightarrow{III) - I)} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & -6 \\ 0 & 1 & -4 \end{pmatrix} \underrightarrow{II) + 2 \cdot I)} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & -4 \end{pmatrix}\)

\(\underrightarrow{III) + II)} \begin{pmatrix} {\color{red}1}& -1 & 2 \\ 0 &{\color{red}-1}& -2 \\ 0 & 0 &{\color{red}-6}\end{pmatrix}\)

Normierte Zeilenstufenform

Eine Matrix in Zeilenstufenform ist in normierter Zeilenstufenform, wenn sie zusätzlich die folgenden Bedingungen erfüllt:

          4. Jeder Zeilenführer hat den Wert 1
          5. Jeder Zeilenführer ist der einzige Eintrag in seiner Spalte, der nicht gleich Null ist.

\(\begin{pmatrix} 0 & 1 & * & 0 & 0 & * \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & *\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

Mehr zur normierten Zeilenstufenform erfährst du im nächsten Kapitel.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!