Zufallsexperiment

In diesem Kapitel schauen wir an an, was ein Zufallsexperiment ist.

Im Chemie- und Physikunterricht werden regelmäßig Versuche durchgeführt. Einer dieser Versuche könnte das Messen der Siedetemperatur von Wasser sein. Egal, wie oft wir den Versuch durchführen, wir erhalten stets dasselbe Ergebnis: Wasser verdampft bei 100°C.

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigen wir mit Versuchen, deren Ergebnisse sich nicht vorhersagen lassen, d. h. vom Zufall abhängig sind. Zu dieser Art von Versuchen zählt das Werfen einer Münze. Bekanntlich können wir nicht vorhersagen, ob „Kopf“ oder „Zahl“ oben liegt.

Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit zufälligem Ausgang.

Beispiele für Zufallsexperimente

  • Werfen einer Münze
  • Werfen eines Würfels
  • Ziehen einer Kugel aus einer Urne
  • Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel
  • Drehen eines Glücksrads
  • Roulette
  • Lotto
  • Auswahl einer Zahl zwischen 1 und 10 durch einen Zufallsgenerator
  • Befragung einer unbekannten Person nach der Partei,
    die diese bei der letzten Wahl gewählt hat
  • Messung einer physikalischen Größe mit einer bestimmten Messmethode
    (wegen der unvermeidlichen, zufälligen Messabweichungen)

Eigenschaften eines Zufallsexperiments

Ein Versuch heißt Zufallsexperiment, falls
(a) er unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar ist,
(b) alle möglichen Ergebnisse vor Durchführung bekannt sind und
(c) sein Ergebnis sich nicht mit Sicherheit vorhersagen lässt.

Beispiel

Das Werfen einer Münze ist ein Zufallsexperiment, denn
(a) es lässt sich unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholen,
(b) alle möglichen Ergebnisse („Kopf“ und „Zahl“) sind vor Durchführung bekannt und
(c) sein Ergebnis („Kopf“ oder „Zahl“) lässt sich nicht mit Sicherheit vorhersagen.

Gegenbeispiel

Das Messen der Siedetemperatur von Wasser ist kein Zufallsexperiment, denn
(a) es lässt sich zwar unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholen und
(b) alle möglichen Ergebnisse (100°C) sind vor Durchführung bekannt, aber
(c) sein Ergebnis (100°C) lässt sich mit Sicherheit vorhersagen.

Einstufige Zufallsexperimente

Ein Zufallsexperiment, das nur einmal durchgeführt wird, heißt einstufig.

Beispiele für einstufige Zufallsexperimente

  • einmaliges Werfen einer Münze oder eines Würfels
  • einmaliges Ziehen einer Karte aus einem gemischten Stapel

Mehrstufige Zufallsexperimente

Ein Zufallsexperiment, das aus mehreren Schritt besteht, die für sich selbst auch Zufallsexperimente sind, heißt mehrstufig.

Beispiele für mehrstufige Zufallsexperimente

  • zweimaliges Werfen einer Münze oder eines Würfels
  • fünfmaliges Ziehen einer Karte aus einem gemischten Stapel

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung baut auf folgenden Grundbegriffen auf:

  Bezeichnung Beispiel
Zufallsexperiment   Werfen eines Würfels
Ergebnis \(\omega\) („Klein-Omega“) Augenzahl 4 \(\Rightarrow \omega = 4\)
Ergebnisraum \(\Omega\) („Groß-Omega“) \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
Ereignis ein lat. Großbuchstabe
(z. B. \(A, B, C\dots\))
\(E\colon \text{„Augenzahl kleiner 4“}\)
\(\Rightarrow E = \{1, 2, 3\}\)
Ereignisraum \(\mathcal{P}(\Omega)\) \(\mathcal{P}(\Omega) = \{\{\,\}, \{1\},\dots,\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\}\)

PS: Wir empfehlen euch, die Mengenlehre noch einmal zu wiederholen!

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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