Zufallsvariable

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Zufallsvariable ist.
[Alternative Bezeichnungen: Zufallsgröße, zufällige Größe, zufällige Variable]

Problemstellung

Zu jedem Zufallsexperiment gehört ein Ergebnisraum \(\Omega\). Die einzelnen Ergebnisse \(\omega_i\) können Buchstaben, Buchstabenkombinationen oder Zahlen sein. Mit Buchstaben oder anderen Symbolen kann man nicht numerisch rechnen. Den einzelnen Ergebnissen des Ergebnisraums werden deshalb Zahlenwerte zugeordnet. Diese Zuordnung wird durch eine Funktion, der sog. Zufallsvariablen, beschrieben.

Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, also eine Beziehung zwischen zwei Mengen,
die jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zuordnet.

Eine Funktion \(X\), die
jedem Ergebnis \(\omega\) des Ergebnisraum \(\Omega\)
genau eine Zahl \(x\) der Menge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\)
zuordnet, heißt Zufallsvariable.

Kurzschreibweise: \(X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\)

Diese Definition lässt sich in einem Mengendiagramm sehr leicht veranschaulichen.




Eine Zufallsvariable ordnet
jedem \(\omega_i\) aus \(\Omega\)
genau ein \(x_i\) aus \(\mathbb{R}\)
zu.

Lass dich von dem Wort Zufallsvariable nicht verwirren! Eine Zufallsvariable \(X\) ist keine Zahl, die in einem Zufallsexperiment zufällig herauskommt, sondern eine Funktion, die jedem zufällig entstehenden Ergebnis \(\omega\) einen ganz genau bestimmten Zahlenwert \(x\) zuordnet: \(X: \omega \rightarrow x\).

Diskret oder stetig?

Man kann zwischen diskreten Zufallsvariablen und stetigen Zufallsvariablen unterscheiden.
Der Einfachheit halber beschränken wir uns im Folgenden auf diskrete Zufallsvariablen.

Funktion vs. Zufallsvariable

Im vorherigen Abschnitt haben wir gesehen, dass eine Zufallsvariable nichts anderes ist als eine Funktion mit bestimmten Eigenschaften. Es liegt daher nahe, die Schreibweisen und Bezeichnungen einer normalen Funktion mit denen einer Zufallsvariablen zu vergleichen:

Funktion \(f\)
Zufallsvariable \(X\)
\(f: D \rightarrow W\) \(X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\)
\(f: x \rightarrow y\) \(X: \omega \rightarrow x\)
\(y = f(x)\) \(x = X(\omega)\)

Bedeutung der wichtigsten Formelzeichen

  • \(X\): Zufallsvariable (= Funktion)
  • \(\Omega\): Ergebnisraum (= Definitionsmenge)
  • \(\mathbb{R}\): Menge der reellen Zahlen (= Wertemenge)
  • \(\omega\): Ergebnis eines Zufallsexperiments (= Element der Definitionsmenge)
  • \(x\): Reelle Zahl (= Element der Wertemenge)
  • \(X(\omega)\): Zuordnungsvorschrift (= Funktionsgleichung)

Merke: Die Zuordnungsvorschrift (\(X(\omega)\)) ist das Bindeglied zwischen der Definitionsmenge (\(\Omega\)) und der Wertemenge (\(\mathbb{R}\)). Sie ordnet jedem Element der Definitionsmenge (\(\omega\)) genau ein Element der Wertemenge (\(x\)) zu.

Merke: Es ist üblich, Zufallsvariablen mit großen Buchstaben (\(X\), \(Y\),...) zu bezeichnen, dagegen die Werte, die sie annehmen, mit den entsprechenden Kleinbuchstaben (\(x\), \(y\),...). Diese Werte heißen auch „Realisationen“ der Zufallsvariablen.

Die bisherigen Ausführungen waren ziemlich theoretisch. Es wird Zeit für ein paar Beispiele...

Zufallsvariable - Beispiele

Wir wissen bereits, dass eine Zufallsvariable \(X\) eine Funktion ist, die jedem zufällig entstehenden Ergebnis \(\omega\) einen ganz genau bestimmten Zahlenwert \(x\) zuordnet. Es bleibt die Frage, von welchen Zahlenwerten hier die Rede ist. Häufig lassen sich den verschiedenen Ergebnissen eines Zufallsexperiments auf ganz natürliche Weise Zahlen zuordnen:

  • die Augenzahl beim Werfen eines Würfels,
  • die Summe der Augenzahlen beim Werfen mehrerer Würfel,
  • die Anzahl der Würfe einer Münze, bis zum ersten Mal \(\text{KOPF}\) oben liegt
  • der Gewinn bei einem Glücksspiel
  • ...

Beispiel 1

Ein Würfel wird einmal geworfen.

Die Zufallsvariable \(X\) ordnet jedem Ergebnis \(\omega\) seine Augenzahl \(x\) zu.

a) Darstellung als Wertetabelle

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r}
\text{Ergebnis } \omega_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\text{Augenzahl } x_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
\end{array}\)

b) Darstellung als abschnittweise definierte Funktion

\(\begin{equation*}
X(\omega) =
\begin{cases}
1 & \text{für } \omega = 1 \\
2 & \text{für } \omega = 2 \\
3 & \text{für } \omega = 3 \\
4 & \text{für } \omega = 4 \\
5 & \text{für } \omega = 5 \\
6 & \text{für } \omega = 6
\end{cases}
\end{equation*}\)

c) Darstellung als Mengendiagramm

Beispiel 2

Eine Münze wird einmal geworfen.
Wenn \(\text{KOPF}\) oben liegt, verlieren wir 1 Euro.
Wenn \(\text{ZAHL}\) oben liegt, gewinnen wir 1 Euro.

Die Zufallsvariable \(X\) ordnet jedem Ergebnis \(\omega\) seinen Gewinn \(x\) zu.

a) Darstellung als Wertetabelle

\(\begin{array}{r|r|r}
\text{Ergebnis } \omega_i & \text{KOPF} & \text{ZAHL} \\
\hline
\text{Gewinn } x_i & -1 & 1
\end{array}\)

b) Darstellung als abschnittweise definierte Funktion

\(\begin{equation*}
X(\omega) =
\begin{cases}
-1 & \text{für } \omega = \text{KOPF} \\
1 & \text{für } \omega = \text{ZAHL}
\end{cases}
\end{equation*}\)

c) Darstellung als Mengendiagramm

Fazit

Es gibt drei Möglichkeiten, eine (diskrete) Zufallsvariable darzustellen:

a) als Wertetabelle
b) als abschnittsweise definierte Funktion
c) als Mengendiagramm

Im nächsten Kapitel lernen wir den Begriff der Wahrscheinlichkeitsverteilung kennen.

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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