Zuordnung

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter einer Zuordnung versteht.

Zuordnungen gibt es nicht nur in der Mathematik. Auch im echten Leben ordnen wir Dinge zu.

Beispiel

Wir fragen drei Freunde, welches Haustier sie besitzen. Dabei stellen wir fest:

- David besitzt einen Hund
- Anna besitzt ein Pferd
- Paul besitzt eine Katze

Den Besitzern lassen sich ihre Haustieren eindeutig zuordnen.

Um Zuordnungen zu beschreiben, benutzt man in der Mathematik folgenden Pfeil: \({\fcolorbox{Red}{}{\(\longmapsto\)}}\).

Beispiel (Fortsetzung)

\(\text{David} \longmapsto \text{Hund}\)
Man sagt: DAVID wird HUND eindeutig zugeordnet.

\(\text{Anna} \longmapsto \text{Pferd}\)
Man sagt: ANNA wird PFERD eindeutig zugeordnet.

\(\text{Paul} \longmapsto \text{Katze}\)
Man sagt: PAUL wird KATZE eindeutig zugeordnet.

Mit diesem Wissen können wir eine Zuordnung folgendermaßen beschreiben:

Eine Zuordnung ordnet einem Wert einen anderen Wert eindeutig zu.

Im obigen Beispiel haben wir uns mit Haustierbesitzern und ihren Haustieren beschäftigt. Für Mathematiker ist das leider uninteressant. Es ist an der Zeit, dass Zahlen ins Spiel kommen.

Beispiel

Wir gehen in eine Metzgerei, um ein paar belegte Brötchen zu kaufen.
Am Eingang hängt eine Preistafel mit folgender Beschriftung:

- 1 belegtes Brötchen kostet 2 Euro
- 2 belegte Brötchen kosten 4 Euro
- 3 belegte Brötchen kosten 6 Euro
- 4 belegte Brötchen kosten 8 Euro

Der Anzahl der Brötchen lässt sich ihr Preis eindeutig zuordnen:
\(\text{Anzahl Brötchen} \longmapsto \text{ Preis}\)

\(1 \longmapsto 2\)
\(2 \longmapsto 4\)
\(3 \longmapsto 6\)
\(4 \longmapsto 8\)

Wir wissen nun, was man sich unter einer Zuordnung vorstellen kann. Es stellt sich die Frage: Welche Möglichkeiten gibt es, um eine Zuordnung darzustellen?

Darstellung von Zuordnungen

Im Wesentlichen gibt es vier Möglichkeiten, um eine Zuordnung übersichtlich darzustellen:

  1. Pfeildiagramm
  2. Zuordnungstabelle (= Wertetabelle)
  3. Koordinatensystem
  4. Mathematische Vorschrift (= Zuordnungsvorschrift)

Zu jeder Darstellung schauen wir uns ein Beispiel an.
Dabei geht es jeweils um folgende Zuordnung:

- 1 belegtes Brötchen kostet 2 Euro
- 2 belegte Brötchen kosten 4 Euro
- 3 belegte Brötchen kosten 6 Euro
- 4 belegte Brötchen kosten 8 Euro

1. Pfeildiagramm

Das Pfeildiagramm haben wir bereits weiter oben kennengelernt.

\(1 \longmapsto 2\)
\(2 \longmapsto 4\)
\(3 \longmapsto 6\)
\(4 \longmapsto 8\)

Die Zahl links vom Pfeil ist der Ausgangswert, die rechte Zahl der zugeordnete Wert.

2. Zuordnungstabelle (= Wertetabelle)

Zuordnungstabellen lassen sich sowohl waagrecht als auch senkrecht darstellen. Welche Darstellung du wählst, ist dir überlassen. Orientiere dich am besten an der Darstellung, die dein Lehrer verwendet.

Eine (waagrechte) Zuordnungstabelle hat zwei Reihen. In der oberen Reihe befinden sich die Ausgangswerte und in der unteren Reihe die zugeordneten Werte.

\(\begin{array}{r|r|r|r|r}
\text{Ausgangswert} & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
\text{zugeordneter Wert} & 2 & 4 & 6 & 8 \\
\end{array}\)

Eine (senkrechte) Zuordnungstabelle hat zwei Spalten. In der linken Spalte befinden sich die Ausgangswerte und in der rechten Spalte die zugeordneten Werte.

\(\begin{array}{l|l|}
\text{Ausgangswert} & \text{zugeordneter Wert} \\ \hline
 1 & 2 \\
 2 & 4 \\
 3 & 6 \\
 4 & 8 \\
\end{array}\)

Häufig sagt man zu einer Zuordnungstabelle auch einfach Wertetabelle.

3. Koordinatensystem

Wenn du auf einem karierten Blatt Papier...

...zwei Geraden einzeichnest, die aufeinander senkrecht stehen, erhälst du ein Koordinatensystem. Diese Geraden bezeichnet man dann als Koordinatenachsen. Wichtig ist, dass du die Koordinatenachsen richtig beschriftet (siehe Abbildung).

Die waagrechte Koordinatenachse steht für die Ausgangswerte, die senkrechte Koordinatenachse für die zugeordneten Werte der Zuordnung.

Gegeben ist folgende Zuordnung
\(1 \longmapsto 2\)

Wie können wir diese Zuordnung grapisch darstellen?
Die Zuordnung entspricht einem Punkt im Koordinatensystem. Diesen Punkt erhält man, indem man vom Koordinatenursprung eine Einheit nach rechts und zwei Einheiten nach oben geht.

Die graphische Darstellung der Zuordnung
\(1 \longmapsto 2\)
\(2 \longmapsto 4\)
\(3 \longmapsto 6\)
\(4 \longmapsto 8\)
aus unserem Beispiel ("belegte Brötchen") ist in der nebenstehenden Abbildung eingezeichnet.

4. Mathematische Vorschrift (= Zuordnungsvorschrift)

Mit Hilfe einer mathematischen Vorschrift lässt sich der zweite Wert aus dem ersten Wert berechnen. Diese mathematische Vorschrift bezeichnet man im Fall von Zuordnungen als Zuordnungsvorschrift.

Beispiel (Fortsetzung)

\(\begin{array}{r|r|r|r|r}
\text{Anzahl Brötchen} & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
\text{Preis} & 2 & 4 & 6 & 8 \\
\end{array}\)

Aus der Tabelle lässt sich herauslesen:
- 1 Brötchen kostet 2 Euro
- 2 Brötchen kosten 4 Euro
- 3 Brötchen kosten 6 Euro
- 4 Brötchen kosten 8 Euro

In der letzten Zeile steht z.B. "4 Brötchen kosten 8 Euro". Da ein Brötchen 2 Euro kostet, kosten 4 Brötchen natürlich \({\color{red}{2}} \text{ Euro} \cdot 4 = 8 \text{ Euro}\).

Die Tabelle können wir demnach folgendermaßen umschreiben:

\(\begin{array}{r|r|r|r|r}
\text{Anzahl Brötchen} & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
\text{Preis} &{\color{red}{2}} \cdot 1 &{\color{red}{2}} \cdot 2&{\color{red}{2}} \cdot 3 &{\color{red}{2}} \cdot 4 \\
\end{array}\)

Jetzt interessieren wir uns dafür, wie viel \(x\) Brötchen kosten. Der Buchstabe \(x\) steht für eine unbekannte Anzahl an Brötchen.

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r}
\text{Anzahl Brötchen} & 1 & 2 & 3 & 4 & \dots & x \\ \hline
\text{Preis} &{\color{red}{2}} \cdot 1 &{\color{red}{2}} \cdot 2 &{\color{red}{2}} \cdot 3 &{\color{red}{2}} \cdot 4 & \dots &{\color{red}{2}} \cdot x \\
\end{array}\)

\(x\) Brötchen kosten also \({\color{red}{2}} \cdot x\) Euro.

Die Zuordnungsvorschrift für \(x\) Brötchen lautet folglich:
\(x \longmapsto 2 \cdot x\)

Mit Hilfe dieser mathematischen Vorschrift können wir den zweiten Wert (Preis) aus dem ersten Wert (Anzahl) berechnen. Um das zu verdeutlichen, überlegen wir uns, wie viel 40 Brötchen kosten: \(40 \longmapsto 2 \cdot 40 = 80\).
Antwort: 40 Brötchen kosten 80 Euro.

Wenn du das Beispiel nicht auf Anhieb verstanden hast, ist das nicht schlimm. An dieser Stelle solltest du dir nur merken, dass es grundsätzlich möglich ist, eine Zuordnung auch als mathematische Vorschrift (Zuordnungsvorschrift) zu formulieren. Wie das genau funktioniert, erfährst du im nächsten Kapitel (> proportionale Zuordnung).

Arten von Zuordnungen

Es gibt zwei Arten von Zuordnungen, die in der Schule relativ häufig betrachtet werden:

Zu jeder dieser beiden Zuordnungen haben wir ein eigenes Kapitel verfasst.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!