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Zuordnungsvorschrift

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Zuordnungsvorschrift ist.

Um dieses Thema zu verstehen, solltest du bereits folgende Lektionen gelesen haben:

Weißt du noch, was eine Zuordnung ist?

Eine Zuordnung ordnet einem Wert einen anderen Wert eindeutig zu.

Um Zuordnungen zu beschreiben, benutzt man in der Mathematik folgenden Pfeil: \({\fcolorbox{Red}{}{\(\longmapsto\)}}\).

Allgemein

\(x \longmapsto y\)
(sprich: \(x\) wird \(y\) eindeutig zugeordnet)

Dabei bezeichnet man \(x\) als Ausgangswert und \(y\) als zugeordneten Wert.

Beispiel 1

1 kg Äpfel kostet 2 Euro. 2 kg Äpfel kosten 4 Euro... usw.

Der Menge der Äpfel lässt sich ihr Preis eindeutig zuordnen:
\(\text{Menge der Äpfel} \longmapsto \text{ Preis der Äpfel}\)

\(1 \longmapsto 2\)
\(2 \longmapsto 4\)
\(3 \longmapsto 6\)
\(4 \longmapsto 8\)
\(5 \longmapsto 10\)

Zur übersichtlicheren Darstellung verwendet man meist eine Wertetabelle:

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r}
x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
y & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \\
\end{array}\)

Beispiel 2

1 Gärtner braucht zum Mähen einer bestimmten Rasenfläche 12 Minuten.
Wenn 2 Gärtner zusammenhelfen, brauchen sie nur 6 Minuten... usw.

Die Anzahl der Gärtner lässt sich der Arbeitszeit eindeutig zuordnen:
\(\text{Anzahl Gärtner} \longmapsto \text{ Arbeitszeit}\)

\(1 \longmapsto 12\)
\(2 \longmapsto 6\)
\(3 \longmapsto 4\)
\(4 \longmapsto 3\)
\(5 \longmapsto 2,4\)
\(6 \longmapsto 2\)

Zur übersichtlicheren Darstellung verwendet man meist eine Wertetabelle:

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r}
x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
y & 12 & 6 & 4 & 3 & 2,4 & 2 \\
\end{array}\)

Eine Zuordnungsvorschrift ist eine mathematische Vorschrift, mit deren Hilfe sich der zugeordnete Wert \(y\) aus dem Ausgangswert \(x\) berechnet lässt.

Beispiel 1 (Fortsetzung)

Die Zuordnungsvorschrift für Beispiel 1 lautet \({\fcolorbox{Red}{}{\(y = 2x\)}}\). Sie hilft uns dabei, den \(y\)-Wert zu berechnen, wenn ein \(x\)-Wert gegeben ist.

Gilt beispielsweise \(x = 15\), so berechnet sich \(y\) zu

\(y = 2 \cdot 15 = 30\)

15 kg Äpfel kosten folglich 30 Euro.

Beispiel 2 (Fortsetzung)

Die Zuordnungsvorschrift für Beispiel 2 lautet \({\fcolorbox{Red}{}{\(y = 12\frac{1}{x}\)}}\). Sie hilft uns dabei, den \(y\)-Wert zu berechnen, wenn ein \(x\)-Wert gegeben ist.

Gilt beispielsweise \(x = 12\), so berechnet sich \(y\) zu

\(y = 12 \cdot \frac{1}{12} = 1\)

12 Gärtner brauchen zum Mähen des Rasens demnach 1 Minute.

Wir wissen bereits, was eine Zuordungsvorschrift ist. Jetzt stellt sich natürlich die Frage, wie man eine Zuordnungsvorschrift berechnet, wenn eine Zuordnung gegeben ist.

Die Berechnung einer Zuordungsvorschrift unterscheidet sich danach, ob es sich um eine proportionale Zuordnung (Beispiel 1) oder eine antiproportionale Zuordnung (Beispiel 2) handelt.

Zuordnungsvorschrift
einer proportionalen Zuordnung

Die Zuordnungsvorschrift einer proportionalen Zuordnung heißt

\(y = \text{Proportionalitätsfaktor} \cdot x\)

Wir können die Zuordnungsvorschrift in zwei Schritten berechnen

  1. Auf Proportionalität prüfen
    (= Proportionalitätsfaktor berechnen)
  2. Ergebnis in die Formel einsetzen

Beispiel 1

Gegeben ist folgende Zuordnung

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r}
x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
y & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \\
\end{array}\)

Zunächst müssen wir überprüfen, ob die Zuordnung proportional ist. Dazu teilen wir die Werte der unteren Zeile durch die Werte der oberen Zeile.

\(\begin{align*}
2:1 &= 2 \\
4:2 &= 2 \\
6:3 &= 2 \\
8:4 &= 2 \\
10:5 &= 2 \\
\end{align*}\)

Da man bei der Division der unteren durch die obere Zeile jeweils denselben Wert erhält, ist die Zuordnung proportional. Das Ergebnis der Divisionen (hier: 2) ist dann der Proportionalitätsfaktor.

Jetzt setzen wir das Ergebnis (= den Proportionalitätsfaktor) in die Formel ein

\(y = \text{Proportionalitätsfaktor} \cdot x\)

Die Zuordnungsvorschrift der proportionalen Zuordnung lautet demnach

\({\fcolorbox{Red}{}{\(y = 2 \cdot x\)}}\)

Beispiel 2

Gegeben ist folgende Zuordnung

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r}
x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
y & 3 & 6 & 9 & 12 & 15 \\
\end{array}\)

Zunächst müssen wir überprüfen, ob die Zuordnung proportional ist. Dazu teilen wir die Werte der unteren Zeile durch die Werte der oberen Zeile.

\(\begin{align*}
3:1 &= 3 \\
6:2 &= 3 \\
9:3 &= 3 \\
12:4 &= 3 \\
15:5 &= 3 \\
\end{align*}\)

Da man bei der Division der unteren durch die obere Zeile jeweils denselben Wert erhält, ist die Zuordnung proportional. Das Ergebnis der Divisionen (hier: 3) ist dann der Proportionalitätsfaktor.

Jetzt setzen wir das Ergebnis (= den Proportionalitätsfaktor) in die Formel ein

\(y = \text{Proportionalitätsfaktor} \cdot x\)

Die Zuordnungsvorschrift der proportionalen Zuordnung lautet demnach

\({\fcolorbox{Red}{}{\(y = 3 \cdot x\)}}\)

Beispiel 3

Gegeben ist folgende Zuordnung

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r}
x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
y & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\
\end{array}\)

Zunächst müssen wir überprüfen, ob die Zuordnung proportional ist. Dazu teilen wir die Werte der unteren Zeile durch die Werte der oberen Zeile.

\(\begin{align*}
1:1 &= 1 \\
4:2 &= 2 \\
9:3 &= 3 \\
16:4 &= 4 \\
25:5 &= 5 \\
\end{align*}\)

Da man bei der Division der unteren durch die obere Zeile jeweils einen anderen Wert erhält, ist die Zuordnung nicht proportional. Es lässt sich kein Proportionalitätsfaktor angeben.

Die Berechnung einer Zuordnungsvorschrift mit Hilfe der Formel

\(y = \text{Proportionalitätsfaktor} \cdot x\)

ist demnach nicht möglich.

Zuordnungsvorschrift
einer antiproportionalen Zuordnung

Die Zuordnungsvorschrift einer antiproportionalen Zuordnung heißt

\(y = \text{Antiproportionalitätsfaktor} \cdot \frac{1}{x}\)

Wir können die Zuordnungsvorschrift in zwei Schritten berechnen

  1. Auf Antiproportionalität prüfen
    (= Antiproportionalitätsfaktor berechnen)
  2. Ergebnis in die Formel einsetzen

Beispiel 1

Gegeben ist die folgende Zuordnung

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r}
x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
y & 12 & 6 & 4 & 3 & 2,4 & 2 \\
\end{array}\)

Zunächst müssen wir überprüfen, ob die Zuordnung antiproportional ist. Dazu multiplizieren wir die Werte der oberen Zeile mit den Werten der unteren Zeile.

\(\begin{align*}
1 \cdot 12 &= 12 \\
2 \cdot 6 &= 12 \\
3 \cdot 4 &= 12 \\
4 \cdot 3 &= 12 \\
5 \cdot 2,4 &= 12 \\
6 \cdot 2 &= 12 \\
\end{align*}\)

Da man bei der Multiplikation der oberen mit der unteren Zeile jeweils denselben Wert erhält, ist die Zuordnung antiproportional. Das Ergebnis der Multiplikationen (hier: 12) ist dann der Antiproportionalitätsfaktor.

Jetzt setzen wir das Ergebnis (= den Antiproportionalitätsfaktor) in die Formel ein

\(y = \text{Antiproportionalitätsfaktor} \cdot \frac{1}{x}\)

Die Zuordnungsvorschrift der antiproportionalen Zuordnung lautet demnach

\({\fcolorbox{Red}{}{\(y = 12 \cdot \frac{1}{x}\)}}\)

Beispiel 2

Gegeben ist die folgende Zuordnung

\(\begin{array}{r|r|r|r|r}
x & 1 & 2 & 4 & 5 \\ \hline
y & 4 & 2 & 1 & 0,8 \\
\end{array}\)

Zunächst müssen wir überprüfen, ob die Zuordnung antiproportional ist. Dazu multiplizieren wir die Werte der oberen Zeile mit den Werten der unteren Zeile.

\(\begin{align*}
1 \cdot 4 &= 4 \\
2 \cdot 2 &= 4 \\
4 \cdot 1 &= 4 \\
5 \cdot 0,8 &= 4 \\
\end{align*}\)

Da man bei der Multiplikation der oberen mit der unteren Zeile jeweils denselben Wert erhält, ist die Zuordnung antiproportional. Das Ergebnis der Multiplikationen (hier: 4) ist dann der Antiproportionalitätsfaktor.

Jetzt setzen wir das Ergebnis (= den Antiproportionalitätsfaktor) in die Formel ein

\(y = \text{Antiproportionalitätsfaktor} \cdot \frac{1}{x}\)

Die Zuordnungsvorschrift der antiproportionalen Zuordnung lautet demnach

\({\fcolorbox{Red}{}{\(y = 4 \cdot \frac{1}{x}\)}}\)

Beispiel 3

Gegeben ist folgende Zuordnung

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r}
x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
y & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\
\end{array}\)

Zunächst müssen wir überprüfen, ob die Zuordnung antiproportional ist. Dazu multiplizieren wir die Werte der oberen Zeile mit den Werten der unteren Zeile.

\(\begin{align*}
1 \cdot 1 &= 1 \\
2 \cdot 4 &= 8 \\
3 \cdot 9 &= 27 \\
4 \cdot 16 &= 64 \\
5 \cdot 25 &= 125 \\
\end{align*}\)

Da man bei der Multiplikation der oberen mit der unteren Zeile jeweils einen anderen Wert erhält, ist die Zuordnung nicht antiproportional. Es lässt sich kein Antiproportionalitätsfaktor angeben.

Die Berechnung einer Zuordnungsvorschrift mit Hilfe der Formel

\(y = \text{Antiproportionalitätsfaktor} \cdot \frac{1}{x}\)

ist demnach nicht möglich.

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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