Abstand windschiefer Geraden

Ebene in Normalenform aufstellen

Die Normalenform einer Ebene lautet allgemein:

In unserem Fall gilt

• Normalenvektor $$ = Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der beiden Geraden
• Aufpunkt $$ = Aufpunkt von $$

Zunächst berechnen wir das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren…

…danach stellen wir die Ebenengleichung in Normalenform auf:

Normalenform in Koordinatenform umwandeln

Durch Ausmultiplizieren (Skalarprodukt) gelangen wir von der Normalenform zur Koordinatenform.

Koordinatenform in Hessesche Normalenform umwandeln

Wenn wir die Koordinatenform aus Schritt 2 durch die Länge des Normalenvektors dividieren, liegt die Ebene in Hessescher Normalenform vor.

Die Länge des Normalenvektors berechnet sich zu

Die Hessesche Normalenform unserer Ebenengleichung lautet entsprechend

Aufpunkt der Gerade $$ in Hessesche Normalenform einsetzen

Im letzten Schritt setzen wir einen beliebigen Punkt der Gerade $$ in die Hessesche Normalenform ein. Der Einfachheit halber nehmen wir den Aufpunkt der Gerade $$, da dieser sich einfach ablesen lässt.

Einsetzen von $$ in die Hessesche Normalenform ergibt den Abstand der windschiefen Geraden

Der Abstand der windschiefen Geraden beträgt ungefähr 7,48 Längeneinheiten.

Hinweis: Da ein Abstand nie negativ sein kann, müssen wir Betragsstriche setzen.