Strahlensatz
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Strahlensatz besagt.
Was ist ein Strahl?
Ein Strahl ist eine orientierte Halbgerade.
Zum Zeichnen ist es am besten, wenn man zunächst zwei Punkte einzeichnet und danach die Punkte mit einem Lineal so verbindet, dass die Linie bei einem Punkt beginnt (Anfangspunkt) und durch den anderen Punkt hindurchgeht (kein Endpunkt). Auf diese Weise erhält man einen Strahl.
Folglich besitzt ein Strahl einen Anfangspunkt, jedoch keinen Endpunkt.
Wann gilt der Strahlensatz?
Gegeben sind zwei Strahlen, die beide von einem gemeinsamen Punkt ausgehen.
Dieser Punkt heißt Scheitelpunkt oder Scheitel $S$.
Die beiden Strahlen werden von zwei Parallelen geschnitten, die nicht durch den Scheitel gehen.
Die Schnittpunkte der beiden Parallelen mit den beiden Strahlen bezeichnen wir (gemäß der Abbildung) mit $A$ und $A'$ bzw. $B$ und $B'$.
Genau über diesen Fall, der durch die obige Abbildung dargestellt wird, trifft der Strahlensatz eine Aussage. Dabei gibt der Strahlensatz an, in welchem Verhältnis die Strecken zueinanderstehen. Auf diese Weise ist es möglich, unbekannte Streckenlängen zu berechnen.
Die Strahlensätze im Überblick
1. Strahlensatz
$$ \frac{\overline{SA}}{\overline{AA'}} = \frac{\overline{SB}}{\overline{BB'}} \qquad \text{bzw.} \qquad \frac{\overline{SA}}{\overline{SA'}} = \frac{\overline{SB}}{\overline{SB'}} $$
Bedeutung:
Die Abschnitte auf einem der Strahlen verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl.
2. Strahlensatz
$$ \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{SA}}{\overline{SA'}} \qquad \text{bzw.} \qquad \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{SB}}{\overline{SB'}} $$
Bedeutung:
Die Abschnitte auf den Parallelen verhalten sich wie die zugehörigen Abschnitte auf einem der Strahlen.
Vereinfachte Schreibweise
Die Schreibweise der Strahlensätze vereinfacht sich, wenn man in der Abbildung nicht die Schnittpunkte, sondern direkt die einzelnen Strecken benennt.
Die Strahlensätze lauten entsprechend:
1. Strahlensatz
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \qquad \text{bzw.} \qquad \frac{a}{(a+b)} = \frac{c}{(c+d)} $$
Bedeutung:
Die Abschnitte auf einem der Strahlen verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl.
2. Strahlensatz
$$ \frac{g}{h} = \frac{a}{(a+b)} \qquad \text{bzw.} \qquad \frac{g}{h} = \frac{c}{(c+d)} $$
Bedeutung:
Die Abschnitte auf den Parallelen verhalten sich wie die zugehörigen Abschnitte auf einem der Strahlen.
Sonderfall: Scheitel liegt zwischen den Parallelen
Die Strahlensätze gelten auch, wenn der Scheitel $S$ zwischen den Parallelen liegt.
Anwendung
Wie bereits erwähnt, dienen die Strahlensätze dazu, unbekannte Streckenlängen zu berechen.
Gegeben
$a = 5\ \textrm{cm}$$b = 10\ \textrm{cm}$$c = 2\ \textrm{cm}$
Gesucht
Länge der Strecke $d$.
Bei der Abbildung handelt es sich um eine nicht maßstabsgetreue Skizze der Aufgabe.
Laut dem 1. Strahlensatz gilt:
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $$
Zuerst setzen wir die bekannten Streckenlängen in die Formel ein
$$ \frac{5}{10} = \frac{2}{d} $$
Hierbei handelt es sich um eine Gleichung, die es nach der Unbekannten $d$ aufzulösen gilt.
Eventuell ist es hilfreich, wenn du noch einmal kurz das Thema Gleichungen wiederholst:
Mit diesem Wissen lösen wir die Gleichung nach $d$ auf:
$$ \frac{5}{10} = \frac{2}{d} $$
Im ersten Schritt multiplizieren wir die Gleichung mit $d$, damit $d$ nicht mehr im Nenner des Bruchs steht.
$$ d \cdot \frac{5}{10} = \cancel{d} \cdot \frac{2}{\cancel{d}} $$
$$ d \cdot \frac{5}{10} = 2 $$
Im zweiten und letzten Schritt dividieren wir die Gleichung durch $\frac{5}{10}$, damit das $d$ alleine steht. Durch einen Bruch dividieren bedeutet mit seinem Kehrbruch zu multiplizieren, d. h.
$$ d \cdot \frac{\cancel{5}}{\cancel{10}} \cdot \frac{\cancel{10}}{\cancel{5}}= 2 \cdot \frac{10}{5} $$
$$ d = 2 \cdot \frac{10}{5} $$
$$ d = 2 \cdot 2 $$
$$ d = 4 $$
Antwort: Die gesuchte Streckenlänge $d$ ist $4\ \textrm{cm}$ lang.
In der Aufgabe ist deutlich geworden, dass du im Zusammenhang mit den Strahlensätzen nicht nur Gleichungen lösen, sondern auch Bruchrechnen können solltest.
