Lineare Gleichungen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was lineare Gleichungen sind.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Gleichung?
- Äquivalenzumformungen
Definition
Eine Gleichung, die sich durch Äquivalenzumformungen in die Form
$$ ax + b = 0 $$
bringen lässt, heißt lineare Gleichung.
Tipp: Wir können lineare Gleichungen daran erkennen, dass die Variable nur in der 1. Potenz auftritt – also kein $x^2$, $x^3$, … enthalten.
Lineare Gleichungen lösen
Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
Lösungsmenge aufschreiben
zu 1)
Wir lösen die Gleichung mithilfe von Äquivalenzumformungen nach $x$ auf.
Löse die lineare Gleichung
$$ x + 9 = 0 $$
mithilfe von Äquivalenzumformungen.
Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
$$ \begin{align*} x + 9 &= 0 &&|\, -9 \\[5px] x &= -9 \end{align*} $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{-9\} $$
Löse die lineare Gleichung
$$ 2x - 1 = 3 $$
mithilfe von Äquivalenzumformungen.
Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
$$ \begin{align*} 2x - 1 &= 3 &&|\, +1 \\[5px] 2x &= 4 &&|\, :2 \\[5px] x &= 2 \end{align*} $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{2\} $$
Löse die lineare Gleichung
$$ 2 (2x - 1) = 3 (x + 1) $$
mithilfe von Äquivalenzumformungen.
Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
$$ \begin{align*} 2 (2x - 1) &= 3 (x + 1) &&| \text{ Ausmultiplizieren} \\[5px] 4x - 2 &= 3x + 3 &&|\, -3x \\[5px] x - 2 &= 3 &&|\, +2 \\[5px] x &= 5 \end{align*} $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{5\} $$
