Ausmultiplizieren
In diesem Kapitel schauen wir uns das Ausmultiplizieren etwas genauer an.
Erforderliches Vorwissen
Was ist das?
Ausmultiplizieren dient dazu, Klammern aufzulösen:
$$ {\color{red}a} \cdot (b + c) = {\color{red}a}b + {\color{red}a}c $$
Wenn ein Term mit einer Klammer, in der eine Summe oder Differenz steht, multipliziert werden soll, muss der Term mit jedem Glied in der Klammer multipliziert werden, um die Klammer aufzulösen.
Beispiele
Zahlen
$$ {\color{red}5}(4x-2y) = {\color{red}5} \cdot 4x + {\color{red}5} \cdot (-2y) = 20x - 10y $$
$$ {\color{red}-2}(x+7y) = {\color{red}-2} \cdot x {\color{red}\:-\:2} \cdot 7y = -2x -14y $$
Sonderfall: $-1$ vor der Klammer
Statt $-1$ schreibt man häufig einfach nur das Minuszeichen vor die Klammer.
Um die Klammer aufzulösen, müssen wir alle Vorzeichen umdrehen.
Variablen
$$ {\color{red}-xy}(7z - 4) = {\color{red}-xy} \cdot 7z {\color{red}\:-\:xy} \cdot (-4) = -7xyz + 4xy $$
Variablen und Zahlen
$$ {\color{red}5x}(2y - 3z) = {\color{red}5x} \cdot 2y + {\color{red}5x} \cdot (-3z) = 10xy - 15xz $$
$$ {\color{red}-9yz}(-1 - x) = {\color{red}-9yz} \cdot (-1) {\color{red}\:-\:9yz} \cdot (-x) = 9yz + 9 xyz $$
Sonderfall: Produkt in der Klammer
Wenn in der Klammer ein Produkt steht (statt einer Summe oder Differenz), darf man den Term vor der Klammer nicht (!) mit jedem Faktor des Produkts in der Klammer multiplizieren.
$$ {\color{red}a} \cdot (b \cdot c) \neq {\color{red}a} \cdot b \cdot {\color{red}a} \cdot c $$
Nach dem Assoziativgesetz kann man die Klammer in diesem Fall einfach weglassen!
$$ {\color{red}a} \cdot (b \cdot c) = {\color{red}a} \cdot b \cdot c $$
Es gilt zwar
$$ {\color{red}3}(x+y) = {\color{red}3}x + {\color{red}3}y $$
aber
$$ {\color{red}3}(x \cdot y) = {\color{red}3}xy $$
Klammern ausmultiplizieren
Wenn der Term, mit dem die Klammer multipliziert werden soll, selbst eine Klammer mit einer Summe oder Differenz ist, muss jedes Glied der ersten Summe bzw. Differenz mit jedem Glied der zweiten Summe bzw. Differenz multipliziert werden.
$$ ({\color{red}a}+{\color{maroon}b}) \cdot (c+d) = {\color{red}a}c + {\color{red}a}d + {\color{maroon}b}c + {\color{maroon}b}d $$
$$ \begin{align*} ({\color{red}2a} + {\color{maroon}3b}) \cdot (5c - 7d) &= {\color{red}2a} \cdot 5c + {\color{red}2a} \cdot (-7d) + {\color{maroon}3b} \cdot 5c + {\color{maroon}3b} \cdot (-7d) \\[5px] &= 10ac - 14ad + 15bc - 21bd \end{align*} $$
$$ \begin{align*} ({\color{red}6a} {\color{maroon}\:-\:5b}) \cdot (4c - 3d) &= {\color{red}6a} \cdot 4c + {\color{red}6a} \cdot (-3d) {\color{maroon}\:-\:5b} \cdot 4c {\color{maroon}\:-\:5b} \cdot (-3d) \\[5px] &= 24ac - 18ad - 20bc + 15bd \end{align*} $$
Das Ausmultiplizieren von Termen der Gestalt
$(a+b) \cdot (a+b)$,$(a-b) \cdot (a-b)$und$(a+b) \cdot (a-b)$
kann durch die Anwendung der binomischen Formeln erheblich vereinfacht werden.
Teilweises Ausmultiplizieren
In manchen Fällen (z. B. bei der quadratischen Ergänzung) möchte man nur einen Term aus der Klammer holen. Dazu multiplizieren wir den entsprechenden Term in der Klammer mit dem Term vor der Klammer.
Gegeben ist der Term $2 \cdot \left(x^2 + 6x + 9 - 9\right)$.
Unser Ziel ist es, die $-9$ aus der Klammer zu holen.
Wir multiplizieren die $-9$ mit der Zahl vor der Klammer.
$$ {\color{red}2} \cdot \left(x^2 + 6x + 9 {\color{red}\:-\:9}\right) = 2 \cdot \left(x^2 + 6x + 9\right) + {\color{red}2} \cdot ({\color{red}-9}) $$
$$ \phantom{{\color{red}2} \cdot \left(x^2 + 6x + 9 {\color{red}\:-\:9}\right)} = 2 \cdot \left(x^2 + 6x + 9\right) {\color{maroon}\:-\:18} $$
Das Ergebnis der Multiplikation können wir auch vor die Klammer schreiben.
$$ \phantom{{\color{red}2} \cdot \left(x^2 + 6x + 9 {\color{red}\:-\:9}\right)} = {\color{maroon}\:-\:18} + 2 \cdot \left(x^2 + 6x + 9\right) $$
