Ausklammern
In diesem Kapitel schauen wir uns das Ausklammern etwas genauer an.
Erforderliches Vorwissen
Was ist das?
Ausklammern dient dazu, aus einer Summe oder Differenz ein Produkt zu machen:
$$ {\color{red}a}b + {\color{red}a}c = {\color{red}a}(b+c) $$
Beim Ausklammern wird dort eine Klammer erzeugt, wo vorher keine war.
Die Umwandlung einer Summe oder Differenz in ein Produkt heißt auch Faktorisieren.
Das Faktorisieren von Summen und Differenzen spielt u. a. in der Bruchrechnung eine Rolle (siehe Brüche kürzen).
Anleitung
Term vor der Klammer bestimmen
Term in der Klammer berechnen
zu 1)
Der Term vor der Klammer entspricht dem größten gemeinsamen Faktor. Dabei handelt es sich um den Faktor, der in allen Gliedern des gegebenen Terms vorkommt.
zu 2)
Innerhalb der Klammern schreibt man die Terme, die mal dem größten gemeinsamen Faktor
wieder die alten Terme ergeben würden. Die Terme innerhalb der Klammer erhält man also, indem man die gegebenen Terme durch den größten gemeinsamen Faktor dividiert.
Beispiele
Zahlen ausklammern
Gegeben ist der Term $7a + 7b$.
Term vor der Klammer bestimmen
$$ \underbrace{{\color{red}7}a}_{\text{1. Glied}} + \underbrace{{\color{red}7}b}_{\text{2. Glied}} $$
Es ist leicht zu erkennen, dass die ${\color{red}7}$ sowohl im 1. Glied als auch im 2. Glied vorkommt.
Die ${\color{red}7}$ ist folglich der größte gemeinsame Faktor der beiden Glieder.
Term in der Klammer berechnen
Die Terme innerhalb der Klammer erhält man, indem man die gegebenen Terme durch den größten gemeinsamen Faktor dividiert:
$$ 7a : {\color{red}7} = {\color{maroon}a} $$
$$ 7b : {\color{red}7} = {\color{maroon}b} $$
Unser Ergebnis ist also
$$ {\color{red}7}a + {\color{red}7}b = {\color{red}7}({\color{maroon}a} + {\color{maroon}b}) $$
Wir merken uns:
Ausklammern bedeutet, den größten gemeinsamen Faktor vor eine Klammer zu ziehen.
Das obige Beispiel ist sehr einfach, da der größte gemeinsame Faktor sofort ins Auge springt. Bei etwas größeren Zahlen empfiehlt es sich, zunächst eine Primfaktorzerlegung durchzuführen.
Gegeben ist der Term $30x - 42y$.
Term vor der Klammer bestimmen
$$ 30x - 42y= \underbrace{{\color{red}2} \cdot {\color{red}3} \cdot 5 \cdot x \phantom{y}}_{\text{1. Glied}} - \underbrace{{\color{red}2} \cdot {\color{red}3} \cdot 7 \cdot y}_{\text{2. Glied}} $$
Nach der Primfaktorzerlegung lässt sich leicht erkennen,
dass ${\color{red}6}$ (= ${\color{red}2} \cdot {\color{red}3}$) der größte gemeinsame Faktor der beiden Glieder ist.
Term in der Klammer berechnen
Die Terme innerhalb der Klammer erhält man, indem man die gegebenen Terme durch den größten gemeinsamen Faktor dividiert:
$$ 30x : {\color{red}6} = {\color{maroon}5x} $$
$$ 42y : {\color{red}6} = {\color{maroon}7y} $$
Unser Ergebnis ist also
$$ 30x - 42y = {\color{red}2} \cdot {\color{red}3} \cdot 5 \cdot x - {\color{red}2} \cdot {\color{red}3} \cdot 7 \cdot y = {\color{red}6}({\color{maroon}5x} - {\color{maroon}7y}) $$
Wenn ein Glied vollständig vor die Klammer gezogen wird,
muss man dafür in die Klammer eine ${\color{maroon}1}$ schreiben.
$$ 9z + 3 = {\color{red}3} \cdot 3 \cdot z + {\color{red}3} = {\color{red}3} (3z + {\color{maroon}1}) $$
Nebenrechnung:
$$ 9z : {\color{red}3} = 3z $$
$$ 3: {\color{red}3} = {\color{maroon}1} $$
Ein Ausklammern von ${\color{red}+1}$ und ${\color{red}-1}$ ist immer möglich.
Wenn ${\color{red}-1}$ ausgeklammert wird, drehen sich die Vorzeichen in der Klammer um.
Variablen ausklammern
Variablen lassen sich auf dieselbe Weise wie Zahlen ausklammern.
Gegeben ist der Term $5ab - 3a$.
Term vor der Klammer bestimmen
$$ 5{\color{red}a}b - 3{\color{red}a} $$
Es ist leicht zu erkennen, dass ${\color{red}a}$ der größte gemeinsame Faktor ist.
Term in der Klammer berechnen
$$ 5ab : {\color{red}a} = {\color{maroon}5b} $$
$$ 3a : {\color{red}a} = {\color{maroon}3} $$
Das Ergebnis ist demnach
$$ 5{\color{red}a}b - 3{\color{red}a} = {\color{red}a}({\color{maroon}5b} - {\color{maroon}3}) $$
Zahlen und Variablen ausklammern
Ein gleichzeitiges Ausklammern von Zahlen und Variablen ist natürlich auch möglich.
Gegeben ist der Term $15abc + 10abd$.
Term vor der Klammer bestimmen
$$ 15abc + 10abd = 3 \cdot {\color{red}5} \cdot {\color{red}a} \cdot {\color{red}b} \cdot c + 2 \cdot {\color{red}5} \cdot {\color{red}a} \cdot {\color{red}b} \cdot d $$
Nach der Primfaktorzerlegung lässt sich leicht erkennen,
dass ${\color{red}5ab}$ der größte gemeinsame Faktor ist.
Term in der Klammer berechnen
$$ 15abc : {\color{red}5ab} = {\color{maroon}3c} $$
$$ 10abd : {\color{red}5ab} = {\color{maroon}2d} $$
Das Ergebnis ist demnach
$$ 15abc + 10abd = 3 \cdot {\color{red}5} \cdot {\color{red}a} \cdot {\color{red}b} \cdot c + 2 \cdot {\color{red}5} \cdot {\color{red}a} \cdot {\color{red}b} \cdot d = {\color{red}5ab}({\color{maroon}3c} + {\color{maroon}2d}) $$
Bei einem Term mit mehr als zwei Gliedern kann es vorkommen, dass nicht alle Glieder einen gemeinsamen Faktor haben. In vielen Fällen ist aber ein teilweises Ausklammern möglich.
Manchmal ist auch ein mehrmaliges Ausklammern möglich. Voraussetzung dafür ist, dass sich ein gemeinsamer Faktor aus einer Gruppe von zwei oder mehreren Gliedern ausklammern lässt. Im Anschluss daran kann in einigen Fällen noch einmal ausgeklammert werden.
Gegeben ist der Term $3ax - 6x + 4a - 8$.
1. Ausklammern
$$ \underbrace{{\color{red}3} \cdot a \cdot {\color{red}x} - 2 \cdot {\color{red}3} \cdot {\color{red}x}}_{\text{1. Gruppe}} + \underbrace{{\color{red}2} \cdot {\color{red}2} \cdot a - {\color{red}2} \cdot {\color{red}2} \cdot 2}_{\text{2. Gruppe}} = {\color{red}3x}(a-2) + {\color{red}4}(a-2) $$
Aus der 1. Gruppe lässt sich ${\color{red}3x}$ ausklammern.
Aus der 2. Gruppe lässt sich ${\color{red}4}$ ausklammern.
2. Ausklammern
$$ \underbrace{3x{\color{red}(a-2)}}_{\text{1. Glied}} + \underbrace{4{\color{red}(a-2)}}_{\text{2. Glied}} = {\color{red}(a-2)}(3x+4) $$
${\color{red}(a-2)}$ kommt sowohl im 1. Glied als auch im 2. Glied vor.
