Primfaktorzerlegung
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Primfaktorzerlegung ist und wie sie funktioniert.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Primzahl?
- Was ist eine zusammengesetzte Zahl?
Einordnung
Jede natürliche Zahl größer als $1$ ist entweder eine (unzerlegbare) Primzahl oder eine (zerlegbare) zusammengesetzte Zahl. Letztere lassen sich in Produkte aus Primzahlen zerlegen. Die einzelnen Faktoren, aus denen das Produkt besteht, nennen wir Primfaktoren.
Definition
Die Darstellung einer zusammengesetzten Zahl als Produkt ihrer Primfaktoren heißt Primfaktorzerlegung.
Eigenschaft
Aufgrund des Kommutativgesetzes gilt:
Die Zerlegung ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der Faktoren.
Die Primfaktorzerlegung von $6$ ist
$6 = 2 \cdot 3$ oder $6 = 3 \cdot 2$
Es gibt keine anderen Möglichkeiten!
Primfaktorzerlegung durchführen
In der Schule wird meist eines der folgenden beiden Verfahren behandelt:
Echte Teiler abspalten
Das Verfahren basiert darauf, dass wir die gegebene zusammengesetzte Zahl zunächst in zwei beliebige echte Teiler zerlegen, die wir dann ggf. genauso weiter zerlegen, bis am Ende nur noch Primzahlen dastehen.
Wie lautet die Primfaktorzerlegung von $210$?
$$ \begin{align*} 210 &= 10 \cdot 21 \\[5px] &= (2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 7) \\[5px] &= 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \end{align*} $$
Anmerkung
Besonders anschaulich ist die Darstellung des obigen Beispiels als Verzweigungsstruktur:
Wie du die Zahl zerlegst, ist dir überlassen. Das Ergebnis ändert sich dadurch nicht:
$$ \begin{align*} 210 &= 3 \cdot 70 \\[5px] &= 3 \cdot (10 \cdot 7) \\[5px] &= 3 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7 \\[5px] &= 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \end{align*} $$
Primfaktor abspalten
Anstatt wie in dem vorherigen Verfahren willkürlich etwas abzuspalten, können wir auch systematisch vorgehen: Wir versuchen zunächst die kleinste Primzahl, also die $2$, abzuspalten. Danach prüfen wir der Reihe nach auf Teilbarkeit durch $3$, $5$, $7$ usw.
Achtung: Es kommt häufig vor, dass sich Primzahlen mehrmals abspalten lassen.
Wie lautet die Primfaktorzerlegung von $300$?
1) Primfaktor suchen
Ist $300$ durch $2$ teilbar?
Ja, denn $300$ hat die Endziffer $0$.
($\rightarrow$ Teilbarkeitsregel 2)
2) Gegebene Zahl durch gefundenen Primfaktor dividieren
$300 : 2 = 150$.
3) Zwischenergebnis notieren
$$ \begin{align*} 300 &= 2 \cdot 150 \end{align*} $$
1*) Primfaktor suchen
Ist $150$ durch $2$ teilbar?
Ja, denn $150$ hat die Endziffer $0$.
2*) Gegebene Zahl durch gefundenen Primfaktor dividieren
$$ 150 : 2 = 75 $$
3*) Zwischenergebnis aufschreiben
$$ \begin{align*} 300 &= 2 \cdot 150 \\[5px] &= 2 \cdot 2 \cdot 75 \end{align*} $$
1**) Primfaktor suchen
Ist $75$ durch $2$ teilbar?
Nein, denn $75$ hat die Endziffer $5$.
WICHTIG: Das obige Nein gilt auch für alle folgenden Schritte.
Ist $75$ durch $3$ teilbar?
Ja, denn die Quersumme von $75$ ist durch $3$ teilbar.
($\rightarrow$ Teilbarkeitsregel 3).
2**) Gegebene Zahl durch gefundenen Primfaktor dividieren
$$ 75 : 3 = 25 $$
3**) Zwischenergebnis aufschreiben
$$ \begin{align*} 300 &= 2 \cdot 150 \\[5px] &= 2 \cdot 2 \cdot 75 \\[5px] &= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 25 \end{align*} $$
1***) Primfaktor suchen
Auf Teilbarkeit durch $2$ müssen wir hier nicht prüfen.
Begründung siehe Schritt 1**).
Ist $25$ durch $3$ teilbar?
Nein, denn die Quersumme von $25$ ist nicht durch $3$ teilbar.
Ist $25$ durch $5$ teilbar?
Ja, denn $25$ hat die Endziffer $5$.
($\rightarrow$ Teilbarkeitsregel 5)
2***) Gegebene Zahl durch gefundenen Primfaktor dividieren
$$ 25 : 5 = 5 $$
3***) Zwischenergebnis aufschreiben
$$ \begin{align*} 300 &= 2 \cdot 150 \\[5px] &= 2 \cdot 2 \cdot 75 \\[5px] &= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 25 \\[5px] &= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \end{align*} $$
Wir sind fertig, weil in der letzten Zeile nur noch Primzahlen stehen.
Wie lautet die Primfaktorzerlegung von $210$?
$$ \begin{align*} 210 &= 2 \cdot 105 \\[5px] &= 2 \cdot 3 \cdot 35 \\[5px] &= 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \end{align*} $$
Wie lautet die Primfaktorzerlegung von $165$?
$$ \begin{align*} 165 &= 3 \cdot 55 \\[5px] &= 3 \cdot 5 \cdot 11 \end{align*} $$
Anmerkung
Um das obige Verfahren erfolgreich anzuwenden, solltest du alle Primzahlen bis (mindestens) $19$ – also $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$ $17$, $19$ – auswendig können sowie einige Teilbarkeitsregeln beherrschen, nämlich die Teilbarkeitsregel 2, Teilbarkeitsregel 3 und Teilbarkeitsregel 5.
Wenn Primfaktoren mehrmals vorkommen, wie in unserem Beispiel $300 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$,
dann bietet sich auch die abkürzende Potenzschreibweise an, also $300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$.
Praktische Bedeutung
Die Primfaktorzerlegung ist ein wichtiger Zwischenschritt in vielen mathematischen Verfahren. Sie hilft z. B. bei der Berechnung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV). In diesem Zusammenhang kommt sie auch in der Bruchrechnung vor, u. a. beim Brüche kürzen und Brüche gleichnamig machen.
