Brüche gleichnamig machen
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem gleichnamig Machen von Brüchen.
Erforderliches Vorwissen
Problemstellung
Gegeben sind mindestens zwei Brüche mit unterschiedlichem Nenner.
Ziel ist es, die Brüche so zu erweitern, dass sie den gleichen Nenner haben.
Definition
Gleichnamig machen bedeutet, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, den sog. Hauptnenner, zu bringen.
$\Rightarrow$ Brüche mit gleichem Nenner nennt man gleichnamig.$\Rightarrow$ Brüche mit unterschiedlichem Nenner nennt man ungleichnamig.
Anleitung
Hauptnenner bestimmen
Erweiterungszahlen berechnen
Brüche auf Hauptnenner erweitern
zu 1)
Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner.
Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu berechnen, zerlegen wir die Nenner mittels Primfaktorzerlegung in Primfaktoren. Anschließend markieren wir die unterschiedlichen Primfaktoren bei dem Nenner, bei dem sie am meisten vorkommen. Der Hauptnenner ist dann das Produkt der markierten Primfaktoren.
zu 2)
Im nächsten Schritt dividieren wir den Hauptnenner nacheinander durch die Nenner, um die Erweiterungszahlen zu berechnen. Diese veraten uns, wie wir die einzelnen Brüche erweitern müssen, um sie auf den Hauptnenner zu bringen (Schritt 3).
Beispiele
Mache die Brüche
$$ \frac{1}{{\color{blue}3}} \text{ und } \frac{2}{{\color{blue}4}} $$
gleichnamig.
Hauptnenner bestimmen
$$ \text{Nenner 1} = {\colorbox{yellow}{$3$}} $$
$$ \text{Nenner 2} = {\colorbox{yellow}{$2$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$2$}} $$
$$ \text{Hauptnenner} = {\colorbox{yellow}{$3$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$2$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$2$}} = {\color{green}12} $$
Erweiterungszahlen berechnen
$$ \text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}3}} = \frac{}{{\color{green}12}} \qquad \Rightarrow {\color{green}12}:{\color{blue}3} = {\color{red}4} $$
$$ \text{(2)} \quad \frac{2}{{\color{blue}4}} = \frac{}{{\color{green}12}} \qquad \Rightarrow {\color{green}12}:{\color{blue}4} = {\color{red}3} $$
Brüche auf Hauptnenner erweitern
$$ \text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}3}} \cdot \frac{{\color{red}4}}{{\color{red}4}} = \frac{4}{{\color{green}12}} $$
$$ \text{(2)} \quad \frac{2}{{\color{blue}4}} \cdot \frac{{\color{red}3}}{{\color{red}3}} = \frac{6}{{\color{green}12}} $$
Mache die Brüche
$$ \frac{3}{{\color{blue}4}} \text{ und } \frac{5}{{\color{blue}7}} $$
gleichnamig.
Hauptnenner bestimmen
$$ \text{Nenner 1} ={\colorbox{yellow}{$2$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$2$}} $$
$$ \text{Nenner 2} = {\colorbox{yellow}{$7$}} $$
$$ \text{Hauptnenner} = {\colorbox{yellow}{$2$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$2$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$7$}} = {\color{green}28} $$
Erweiterungszahlen berechnen
$$ \text{(1)} \quad \frac{3}{{\color{blue}4}} = \frac{}{{\color{green}28}} \qquad \Rightarrow {\color{green}28}:{\color{blue}4} = {\color{red}7} $$
$$ \text{(2)} \quad \frac{5}{{\color{blue}7}} = \frac{}{{\color{green}28}} \qquad \Rightarrow {\color{green}28}:{\color{blue}7} = {\color{red}4} $$
Brüche auf Hauptnenner erweitern
$$ \text{(1)} \quad \frac{3}{{\color{blue}4}} \cdot \frac{{\color{red}7}}{{\color{red}7}} = \frac{21}{{\color{green}28}} $$
$$ \text{(2)} \quad \frac{5}{{\color{blue}7}} \cdot \frac{{\color{red}4}}{{\color{red}4}} = \frac{20}{{\color{green}28}} $$
Mache die Brüche
$$ \frac{1}{{\color{blue}6}} \text{ und } \frac{5}{{\color{blue}9}} $$
gleichnamig.
Hauptnenner bestimmen
$$ \text{Nenner 1} ={\colorbox{yellow}{$2$}} \cdot 3 $$
$$ \text{Nenner 2} = {\colorbox{yellow}{$3$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$3$}} $$
$$ \text{Hauptnenner} = {\colorbox{yellow}{$2$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$3$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$3$}} = {\color{green}18} $$
Erweiterungszahlen berechnen
$$ \text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}6}} = \frac{}{{\color{green}18}} \qquad \Rightarrow {\color{green}18}:{\color{blue}6} = {\color{red}3} $$
$$ \text{(2)} \quad \frac{5}{{\color{blue}9}} = \frac{}{{\color{green}18}} \qquad \Rightarrow {\color{green}18}:{\color{blue}9} = {\color{red}2} $$
Brüche auf Hauptnenner erweitern
$$ \text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}6}} \cdot \frac{{\color{red}3}}{{\color{red}3}} = \frac{3}{{\color{green}18}} $$
$$ \text{(2)} \quad \frac{5}{{\color{blue}9}} \cdot \frac{{\color{red}2}}{{\color{red}2}} = \frac{10}{{\color{green}18}} $$
Anwendungen
Im Wesentlichen spielt das gleichnamig Machen bei folgenden Aufgaben eine Rolle:
