Brüche subtrahieren
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Subtrahieren von Brüchen.
Gleichnamige Brüche subtrahieren
$$ \frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}} $$
In Worten: Zwei Brüche mit gleichem Nenner werden subtrahiert, indem man ihre Zähler subtrahiert.
Der Nenner verändert sich bei der Subtraktion nicht. Er wird einfach beibehalten.
$$ \frac{3}{{\color{green}4}} - \frac{2}{{\color{green}4}} = \frac{3-2}{{\color{green}4}} = \frac{1}{{\color{green}4}} $$
$$ \frac{9}{{\color{green}7}} - \frac{6}{{\color{green}7}} = \frac{9-6}{{\color{green}7}} = \frac{3}{{\color{green}7}} $$
$$ \frac{5}{{\color{green}5}} - \frac{3}{{\color{green}5}} = \frac{5-3}{{\color{green}5}} = \frac{2}{{\color{green}5}} $$
Nach dem Subtrahieren lässt sich der Bruch oftmals noch vereinfachen (siehe Brüche kürzen).
Ungleichnamige Brüche subtrahieren
Brüche gleichnamig machen
Hauptnenner bestimmen
Erweiterungszahlen berechnen
Brüche auf Hauptnenner erweitern
Brüche subtrahieren
zu 1)
Hauptkapitel: Brüche gleichnamig machen
zu 1.1)
Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner.
Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu berechnen, zerlegen wir die Nenner mittels Primfaktorzerlegung in Primfaktoren. Anschließend markieren wir die unterschiedlichen Primfaktoren bei dem Nenner, bei dem sie am meisten vorkommen. Der Hauptnenner ist dann das Produkt der markierten Primfaktoren.
zu 1.2)
Im nächsten Schritt dividieren wir den Hauptnenner nacheinander durch die Nenner, um die Erweiterungszahlen zu berechnen. Diese veraten uns, wie wir die einzelnen Brüche erweitern müssen, um sie auf den Hauptnenner zu bringen (Schritt 1.3).
Berechne $\frac{2}{{\color{blue}3}}-\frac{1}{{\color{blue}5}}$.
Brüche gleichnamig machen
Hauptnenner bestimmen
$$ \text{Nenner 1} = {\colorbox{yellow}{$3$}} $$
$$ \text{Nenner 2} = {\colorbox{yellow}{$5$}} $$
$$ \text{Hauptnenner} = {\colorbox{yellow}{$3$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$5$}} = {\color{green}15} $$
Erweiterungszahlen berechnen
$$ \text{(1)} \quad \frac{2}{{\color{blue}3}} = \frac{}{{\color{green}15}} \qquad \Rightarrow {\color{green}15}:{\color{blue}3} = {\color{red}5} $$
$$ \text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}5}} = \frac{}{{\color{green}15}} \qquad \Rightarrow {\color{green}15}:{\color{blue}5} = {\color{red}3} $$
Brüche auf Hauptnenner erweitern
$$ \text{(1)} \quad \frac{2}{{\color{blue}3}} = \frac{2}{{\color{blue}3}} \cdot \frac{{\color{red}5}}{{\color{red}5}} =\frac{10}{{\color{green}15}} $$
$$ \text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}5}} = \frac{1}{{\color{blue}5}} \cdot \frac{{\color{red}3}}{{\color{red}3}} = \frac{3}{{\color{green}15}} $$
Brüche subtrahieren
$$ \frac{10}{{\color{green}15}} - \frac{3}{{\color{green}15}} = \frac{10 - 3}{{\color{green}15}} = \frac{7}{{\color{green}15}} $$
Berechne $\frac{1}{{\color{blue}4}}-\frac{2}{{\color{blue}3}}$.
Brüche gleichnamig machen
Hauptnenner bestimmen
$$ \text{Nenner 1} = {\colorbox{yellow}{$2$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$2$}} $$
$$ \text{Nenner 2} = {\colorbox{yellow}{$3$}} $$
$$ \text{Hauptnenner} = {\colorbox{yellow}{$2$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$2$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$3$}} = {\color{green}12} $$
Erweiterungszahlen berechnen
$$ \text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}4}} = \frac{}{{\color{green}12}} \qquad \Rightarrow {\color{green}12}:{\color{blue}4} = {\color{red}3} $$
$$ \text{(2)} \quad \frac{2}{{\color{blue}3}} = \frac{}{{\color{green}12}} \qquad \Rightarrow {\color{green}12}:{\color{blue}3} = {\color{red}4} $$
Brüche auf Hauptnenner erweitern
$$ \text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}4}} = \frac{1}{{\color{blue}4}} \cdot \frac{{\color{red}3}}{{\color{red}3}} =\frac{3}{{\color{green}12}} $$
$$ \text{(2)} \quad \frac{2}{{\color{blue}3}} = \frac{2}{{\color{blue}3}} \cdot \frac{{\color{red}4}}{{\color{red}4}} = \frac{8}{{\color{green}12}} $$
Brüche subtrahieren
$$ \frac{3}{{\color{green}12}} - \frac{8}{{\color{green}12}} = \frac{3 - 8}{{\color{green}12}} = \frac{-5}{{\color{green}12}} = -\frac{5}{{\color{green}12}} $$
Wie man Brüche subtrahiert, in denen Variablen vorkommen, erfährst du im Kapitel Bruchterme subtrahieren. Du wirst sehen, dass die Vorgehensweise (fast) genau die gleiche ist.
