Gleichheit von Brüchen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter der Gleichheit von Brüchen versteht.
Problemstellung
Gegeben sind zwei Brüche $\frac{a}{b}$ und $\frac{c}{d}$.
Die Frage ist, ob die Brüche gleich $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ oder ungleich $\frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}$ sind.
Bei zähler- und nennergleichen Brüchen lässt sich diese Frage ohne Rechnung beantworten.
Zählergleiche Brüche
Zwei zählergleiche Brüche sind genau dann gleich, wenn auch ihre Nenner gleich sind.
Überprüfe, ob die Brüche $\frac{{\color{green}3}}{{\color{red}5}}$ und $\frac{{\color{green}3}}{{\color{red}6}}$ gleich sind.
Da die Zähler gleich, die Nenner jedoch ungleich sind, gilt: $\frac{3}{5} \neq \frac{3}{6}$.
Überprüfe, ob die Brüche $\frac{{\color{green}4}}{{\color{green}9}}$ und $\frac{{\color{green}4}}{{\color{green}9}}$ gleich sind.
Da sowohl die Zähler als auch die Nenner gleich sind, gilt: $\frac{4}{9} = \frac{4}{9}$.
Nennergleiche Brüche
Zwei nennergleiche Brüche sind genau dann gleich, wenn auch ihre Zähler gleich sind.
Überprüfe, ob die Brüche $\frac{{\color{red}4}}{{\color{green}7}}$ und $\frac{{\color{red}5}}{{\color{green}7}}$ gleich sind.
Da die Nenner gleich, die Zähler jedoch ungleich sind, gilt: $\frac{4}{7} \neq \frac{5}{7}$.
Überprüfe, ob die Brüche $\frac{{\color{green}3}}{{\color{green}8}}$ und $\frac{{\color{green}3}}{{\color{green}8}}$ gleich sind.
Da sowohl die Nenner als auch die Zähler gleich sind, gilt: $\frac{3}{8} = \frac{3}{8}$.
Brüche mit ungleichen Zählern und Nennern
Bei Brüchen, deren Zähler und Nenner sich voneinander unterscheiden, lässt sich nicht auf den ersten Blick erkennen, ob die Brüche gleich sind. Wir müssen dann ein wenig rechnen:
Multiplikation über Kreuz
$$ (1) \quad \frac{{\color{green}a}}{{\color{red}b}} = \frac{{\color{red}c}}{{\color{green}d}} \quad \Leftrightarrow \quad {\color{green}a} \cdot {\color{green}d} = {\color{red}b} \cdot {\color{red}c} $$
$$ (2) \quad \frac{{\color{green}a}}{{\color{red}b}} \neq \frac{{\color{red}c}}{{\color{green}d}} \quad \Leftrightarrow \quad {\color{green}a} \cdot {\color{green}d} \neq {\color{red}b} \cdot {\color{red}c} $$
Überprüfe, ob die Brüche $\frac{{\color{green}3}}{{\color{red}4}}$ und $\frac{{\color{red}6}}{{\color{green}8}}$ gleich sind.
$$ {\color{green}3} \cdot {\color{green}8} = {\color{red}4} \cdot {\color{red}6} \quad \Rightarrow \quad 24 = 24 \quad \Rightarrow \quad \frac{3}{4} = \frac{6}{8} $$
Überprüfe, ob die Brüche $\frac{{\color{green}2}}{{\color{red}5}}$ und $\frac{{\color{red}3}}{{\color{green}10}}$ gleich sind.
$$ {\color{green}2} \cdot {\color{green}10} \neq {\color{red}5} \cdot {\color{red}3} \quad \Rightarrow \quad 20 \neq 15 \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{5} \neq \frac{3}{10} $$
Überprüfe, ob die Brüche $\frac{{\color{green}14}}{{\color{red}18}}$ und $\frac{{\color{red}35}}{{\color{green}45}}$ gleich sind.
$$ {\color{green}14} \cdot {\color{green}45} = {\color{red}18} \cdot {\color{red}35} \quad \Rightarrow \quad 630 = 630 \quad \Rightarrow \quad \frac{14}{18} = \frac{35}{45} $$
Wenn größere Zahlen vorkommen (Beispiel 6), kann eine Berechnung ohne Taschenrechner ziemlich mühsam sein. Einfacher ist es in vielen Fällen, wenn man statt der Multiplikation über Kreuz die Brüche vollständig kürzt und anschließend miteinander vergleicht.
Überprüfe, ob die Brüche $\frac{14}{18}$ und $\frac{35}{45}$ gleich sind.
$$ \frac{14}{18} = \frac{\cancel{2} \cdot 7}{\cancel{2} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{7}{9} $$
$$ \frac{35}{45} = \frac{\cancel{5} \cdot 7}{\cancel{5} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{7}{9} $$
$$ \frac{7}{9} = \frac{7}{9} \quad \Rightarrow \quad \frac{14}{18} = \frac{35}{45} $$
Eine weitere Möglichkeit, um auf Gleichheit von Brüchen zu prüfen, ist es, die Brüche gleichnamig zu machen, d. h. die Brüche auf denselben Nenner zu bringen, und anschließend ihre Zähler miteinander zu vergleichen. Im Normalfall geht aber die Multiplikation über Kreuz oder das Kürzen der Brüche deutlich schneller.
